Todas as características do efeito fotoelétrico podem ser explicadas considerando-se a radiação eletromagnética não como uma onda, mas como um conjunto de partículas, chamadas fótons, cada qual com uma energia dada por:
E = h
onde é a freqüência
da radiação eletromagnética e h, uma constante universal,
conhecida como constante de Planck:
h = 6,6261 x 10 -34 Js = 4,1357 x 10 -15 eVs
Eventualmente se usa a constante 
(leia-se agá cortado), dada por:
= h/2
= 1,0546 x 10 -34 Js = 6,5822 x 10 -16 eVs
Quando a radiação eletromagnética de freqüência n atinge a placa em questão, os fótons associados à radiação interagem com os elétrons da placa. Cada elétron que absorve um fóton ganha uma energia hn e se for arrancado, a máxima energia cinética que ele pode ter, pelo princípio de conservação da energia, é dada por:
K MAX = h
- 
onde ,
chamada função trabalho e característica da substância
que constitui a placa, representa a energia necessária para arrancar
um elétron da superfície da placa.
A primeira característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que o número de elétrons arrancados é diretamente proporcional à intensidade da radiação eletromagnética incidente na placa, para uma dada freqüência (Fig.6), pode ser explicada facilmente pela teoria quântica. Como já foi dito, a intensidade (I) de uma onda qualquer é definida como a quantidade de energia que passa, por unidade de tempo, através de uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação da onda. Então, a intensidade da radiação eletromagnética de freqüência n deve ser dada por:
I = N h
onde N representa o número de fótons que cruzam por unidade de tempo uma superfície de área unitária perpendicular à direção de propagação da radiação. Um aumento na intensidade da radiação eletromagnética implica um aumento no número de fótons e daí, um aumento no número de interações desses fótons com os elétrons da placa e, portanto, um aumento no número de elétrons arrancados.
A segunda característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que o potencial de corte tem o mesmo valor, independentemente da intensidade da radiação eletromagnética incidente (Fig.7), pode ser explicada pela teoria quântica considerando-se que a corrente fotoelétrica se interrompe quando o potencial de corte é tal que eV0 = KMAX. Então:
eV0 = h
-
Dessa expressão se conclui que, para uma dada substância na
placa (
dada) e uma dada freqüência da radiação incidente,
o potencial de corte não depende da intensidade da radiação,
isto é, do número de fótons que incidem na placa por
unidade de tempo e por unidade de área.
Por outro lado, quanto mais profundamente no interior da placa se encontra o elétron que vai ser arrancado, menor será a sua energia cinética ao sair dela já que a energia de cada fóton absorvido fica repartida entre o elétron arrancado e os outros elétrons e átomos que constituem a placa considerada. Assim, para uma dada diferença de potencial V negativa entre as placas (ou seja, VA< VB), apenas os elétrons que são arrancados da placa B com uma energia cinética maior que eV chegam à placa A e contam para a corrente elétrica do circuito. Então, com a diminuição da diferença de potencial entre as placas, isto é, para V cada vez mais negativa, menos elétrons alcançam a placa A e menor é a corrente elétrica no circuito.
A terceira característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que a energia dos elétrons arrancados depende da freqüência e não da intensidade da radiação eletromagnética incidente, pode ser explicada pela teoria quântica exatamente pela afirmação de que a radiação eletromagnética deve ser considerada como um conjunto de partículas (os fótons), cada qual com uma energia dada por E = hn, onde n é a freqüência da radiação eletromagnética.
Para radiações eletromagnéticas com dada freqüência,
a máxima energia cinética que cada elétron arrancado
pode ter corresponde à situação em que o elétron
é arrancado da superfície da placa, de modo que toda a energia
do fóton é absorvida por ele. Para uma dada substância,
o valor mínimo n0 para a freqüência da radiação
eletromagnética que produz o efeito fotoelétrico é dada
por h0
= , correspondendo à
situação em que o elétron é arrancado da superfície
da placa e sua energia cinética seja nula. Daí:
0
= / h
Essa freqüência é chamada limiar vermelho do efeito fotoelétrico. Como nos metais f vale no mínimo cerca de 2 eV, ou seja, cerca de 3,2 x 10-19 J, o efeito fotoelétrico nos metais só é possível com radiações eletromagnéticas de freqüências maiores que a freqüência:
( 3,2 x 10-19 J ) / ( 6,6 x 10-34 Js )
4,8 x 1014 Hz
ou cujos comprimentos de onda sejam menores que o comprimento de onda:
= c / n ( 3,0 x 108
m/s ) / ( 4,8 x 1014 Hz )
6,2 x 10-7 m
Essa freqüência e esse comprimento de onda correspondem à radiação eletromagnética da parte visível do espectro, mais precisamente, àquela radiação que, ao olho humano, parece alaranjada.
A quarta característica do efeito fotoelétrico, ou seja, o fato de que não existe retardo entre o instante em que a radiação eletromagnética atinge a superfície da placa e o instante em que aparecem os elétrons arrancados, independentemente da freqüência e da intensidade da radiação, pode ser explicada pela teoria quântica. O conceito de partícula está associado à transferência instantânea de energia de um ente físico a outro, numa colisão. Assim, considerando os fótons como partículas, a teoria quântica garante que existe uma transferência de energia instantânea aos elétrons, que também são considerados como partículas.
A teoria quântica da radiação eletromagnética explica muito bem as características do efeito fotoelétrico. A radiação eletromagnética, que se propaga no espaço como uma onda, no efeito fotoelétrico manifesta propriedades inerentes a partículas. Com igual clareza, as propriedades corpusculares (quânticas) da radiação eletromagnética se manifestam no efeito Compton.
O efeito Compton é a variação do comprimento de onda da radiação eletromagnética dispersada por elétrons livres.
No dispositivo experimental que permite estudar as características do efeito Compton (Fig.10), raios x gerados em um tubo de raios catódicos passam por um filtro que separa, do conjunto de radiações eletromagnéticas produzidas, a radiação com um determinado comprimento de onda, que é dispersada por uma certa amostra. Um detetor apropriado analisa a radiação espalhada pela amostra em função do ângulo a. Normalmente, o funcionamento do detetor se baseia no fenômeno de difração de Bragg pelos átomos de um sólido cristalino. A difração de Bragg acontece para radiações com comprimentos de onda menores ou da ordem de 10-10 m, que é a ordem de grandeza da distância de separação entre os átomos do sólido cristalino. No espectro eletromagnético, os raios x têm comprimento de onda dessa ordem de grandeza e justamente por isso eles são usados nos experimentos de espalhamento Compton.
Estudando-se a dispersão dos raios x pela amostra observa-se que a radiação espalhada consiste de radiação com o comprimento de onda original e de radiação com comprimento de onda maior que o original, que a diferença entre esses dois comprimentos de onda é tanto maior quanto maior é o ângulo de espalhamento a e que tal diferença é independente da substância que constitui a amostra.
Segundo a teoria eletromagnética clássica de Maxwell, a radiação eletromagnética é uma onda transversal, com um campo elétrico E e um campo magnético B variando harmonicamente, um perpendicular ao outro e ambos, perpendiculares à direção de propagação. A componente de campo elétrico da radiação eletromagnética, oscilando com a freqüência da radiação, ao interagir com os elétrons livres da amostra, deveria faze-los oscilar com a mesma freqüência. Como qualquer partícula carregada em movimento acelerado emite radiação eletromagnética, estes elétrons oscilantes deveriam emitir radiação eletromagnética com a freqüência do seu movimento, ou seja, com a mesma freqüência da radiação incidente original e isso independentemente do ângulo de dispersão. Portanto, a teoria clássica não pode explicar as características do efeito Compton.
As características do efeito Compton podem ser explicadas considerando-se
a radiação eletromagnética como um conjunto de partículas
(os fótons), cada qual com uma energia E = hn, onde n é a freqüência
da radiação eletromagnética e h, a constante de Planck.
Assim, no efeito Compton, a interação da radiação
eletromagnética com cada elétron livre da amostra se dá
através de um processo elementar de colisão entre um fóton
e um desses elétrons. Na colisão, o elétron absorve parte
da energia do fóton e este, por conseguinte, passa a ter uma freqüência
menor e, portanto, um comprimento de onda maior.
Pela teoria da relatividade especial de Einstein, a energia E, o módulo
da quantidade de movimento p e a massa de repouso m de uma partícula,
isto é, a massa da partícula medida no referencial onde ela
está em repouso, estão relacionadas pela expressão:
E2 = p2c2 + m2c4
Para um fóton, tomado como uma partícula com massa de repouso nula, vem:
E = pc
Observe-se, de passagem, que esta expressão é idêntica àquela prevista pela teoria eletromagnética clássica de Maxwell para uma onda eletromagnética onde E e p representam, respectivamente, a energia e o módulo da quantidade de movimento associadas à onda em questão. Aqui, c representa o módulo da velocidade de propagação da radiação eletromagnética no vácuo.
Seja, então, o processo elementar de colisão de um fóton com um elétron, processo este observado no referencial em que o elétron está inicialmente em repouso. Nesse referencial, seja p1 a quantidade de movimento do fóton (incidente) antes da colisão, p2, a quantidade de movimento do fóton (espalhado) depois da colisão e pe, a quantidade de movimento do elétron depois da colisão (Fig.11). Pelo princípio de conservação da quantidade de movimento:
p2 + pe = p1
Passando o termo p2 para o lado direito da igualdade e tomando o quadrado do resultado vem:
pe 2= p1 2 + p1 2
- 2p1 p2 cos 
Pelo princípio de conservação da energia:
p1c + mc2 = p2c + [ pe2c2 + m2c4 ]1/2
Passando o termo p2c para o lado esquerdo da igualdade e tomando o quadrado do resultado, vem:
p12c2 + m2c4 + p22c2 + 2p1mc3 - 2p1p2c2 - 2mp2c3 = pe2c2 + m2c4
ou:
p12 + p22 + 2p1mc - 2p1p2 - 2mp2c = pe2
Agora, substituindo o termo pe2 que aparece nesta última expressão pelo seu valor dado na expressão da conservação da quantidade de movimento, vem:
p12 + p22 + 2p1mc
- 2p1p2 - 2mp2c = p12
+ p22 - 2p1p2 cos
ou:
p1mc - p1p2 - mp2c = - p1p2
cos
Passando o termo -p1p2 para o lado direito da igualdade e dividindo o resultado por mcp1p2, tem-se:
1 / p2 - 1 / p1 = (1 / mc) [ 1 - cos
]
Finalmente, levando em conta que, para o fóton, E = pc, E = hn e ln = c, vem:
l2 - l1 = ( h / mc ) [ 1 - cos a ]
Esta expressão dá a diferença entre os comprimentos de onda dos fótons incidente e espalhado ou, o que dá no mesmo, a diferença entre os comprimentos de onda das radiações eletromagnéticas incidente e espalhada, em função do ângulo de espalhamento. Observe-se que a diferença entre os comprimentos de onda não depende do comprimento de onda da radiação incidente. A grandeza h / mc é chamada comprimento de onda Compton do elétron. Com os valores h = 6,63 x 10-34 Js, m = 9,11 x 10-31 kg e c = 3,00 x 108 m/s, tem-se:
C
= h / mc = 2,43 x 10-12 m
Com os valores das constantes físicas dadas acima e levando em conta que:
1 J = 6,24 x 1018 eV
pode-se calcular a energia de um fóton com um comprimento de onda
~ 10-10 m, resultando:
E = hn = hc / l = 1,24 x 104 eV
Esta energia é muito maior do que a energia de ligação
dos elétrons de valência nos átomos que constituem a amostra
dispersora, que é de alguns elétrons-volt. Portanto, pode-se
afirmar que, nas condições do experimento com raios x, o efeito
Compton é a variação do comprimento de onda da radiação
eletromagnética dispersada por elétrons livres. É por
isso, também, que a diferença 2
- 1
não depende de nenhuma característica da substância que
compõe a amostra dispersora.
Um tubo de raios catódicos é um tubo de vidro ou quartzo fechado, contendo, no seu interior, um gás a baixa pressão, e com eletrodos em suas extremidades. Com uma diferença de potencial de vários milhares de volts entre o eletrodo positivo (ânodo) e o eletrodo negativo (cátodo) acontece uma descarga elétrica através do gás.
O experimento de Thomson, realizado com um tubo de raios catódicos (Fig.12), permite medir a razão carga/massa do elétron. Do filamento C, mantido a alta temperatura pela corrente gerada pela diferença de potencial V1, são emitidos elétrons (emissão termoiônica). Esses elétrons são acelerados desde o filamento C até a placa colimadora A pela diferença de potencial V2. Passando pela placa colimadora, os elétrons entram numa região de campo elétrico E e campo magnético B, perpendiculares entre si e à trajetória inicial dos elétrons, e daí vão ao anteparo fluorescente S, onde produzem pontos luminosos visíveis. Para que os elétrons não sejam desviados dessa trajetória por colisões com as moléculas de ar no interior da ampola, este é mantido em alto vácuo.
O campo elétrico E tende a desviar os elétrons, cuja carga é negativa, para cima, com uma força de módulo eE, e o campo magnético B tende a desviar os elétrons para baixo, com uma força de módulo evB, onde e é o módulo da carga dos elétrons e v, o módulo da sua velocidade. Para uma dada velocidade dos elétrons, os valores de E e B podem ser ajustados de modo que:
eE = evB
ou seja, com a força elétrica sobre os elétrons equilibrando a força magnética. Com isso, os elétrons se deslocam em linha reta com velocidade horizontal de módulo v, desde a sua fonte C até o anteparo S, onde produzem um ponto luminoso. Assim, o módulo da velocidade horizontal dos elétrons pode ser calculado a partir dos valores conhecidos de E e B:
v = E / B
Thomson observou, originalmente, a posição do ponto luminoso no anteparo fluorescente com E e B nulos. Então, com um campo elétrico E uniforme, fixo e não nulo, observou a nova posição do ponto luminoso no anteparo e mediu a deflexão d3 resultante. Finalmente, ajustou a intensidade do campo magnético B para que o ponto luminoso voltasse a sua posição original, com o que pode determinar o módulo da velocidade horizontal.
Como a força peso dos elétrons pode ser desprezada, na região do campo elétrico E uniforme, fixo e não nulo, que origina a deflexão d3, sobre os elétrons atua apenas a força elétrica, que é vertical, está dirigida de baixo para cima e tem módulo eE constante (porque E é uniforme), ou seja, o movimento dos elétrons nessa região é um movimento bidimensional, composto de um MRU horizontal e um MRUV vertical. A tangente trigonométrica do angulo q de deflexão pode ser calculada por:
tg 
= d3 / d2 = vY / v
onde vY representa o módulo da componente vertical da velocidade dos elétrons, componente essa que eles adquirem ao passar pela região de campo E. Como o movimento horizontal dos elétrons é um MRU, o tempo que eles levam para percorrer a distância d1é t = d1 / v. Como o movimento vertical dos elétrons é um MRUV, com aceleração de módulo constante a = eE / m, onde m representa a massa, durante o tempo t esses elétrons adquirem uma velocidade vertical de módulo:
vY = at = ( eE / m )( d1 / v) = eEd1 / mv
Então, com essa expressão de vy na equação anterior, temos:
e / m = d3v2 / d1d2E
Assim, com os valores ajustados de E e B, determina-se v. Medindo-se d1, d2 e d3 e usando os valores de E e v, determina-se a razão carga/massa do elétron.
O desvio do ponto luminoso no anteparo fluorescente quando o campo elétrico
passa de E = 0 para E 
0 só pode ser explicado se os raios catódicos têm carga
elétrica (negativa). E como a carga elétrica só pode
ser atribuída a partículas, a experiência de Thomson mostra
que os elétrons são partículas.
Numa rede cristalina, os átomos (ou moléculas) estão
regularmente espaçados a distâncias da ordem de 10-10 m (Fig.13(a)).
Esses átomos (ou moléculas) podem servir de centros espalhadores
para raios x e raios g, que são radiações eletromagnéticas
com comprimentos de onda da mesma ordem de grandeza dessas distâncias.
Quando um cristal é atravessado por raios x ou raios 
,
os raios espalhados têm um padrão de intensidade que depende
da interferência das ondas espalhadas em cada átomo do cristal
e de um fator característico dos átomos.
Num cristal formado por vários tipos de átomos, cada tipo contribui de modo diferente para o espalhamento.
Seja um cristal cúbico formado por átomos de um tipo apenas e com um átomo em cada vértice da estrutura cristalina (Fig.13(b), onde estão representados três planos paralelos). Os átomos da estrutura cristalina definem uma série de conjuntos de planos paralelos igualmente espaçados. Na Fig.13(b) está representado, além dos conjuntos de planos paralelos (em preto) que definem a estrutura cúbica, um outro conjunto de planos paralelos (em rosa) dentre os muitos outros possíveis. Seja uma onda plana, de comprimento de onda l, incidente sobre um conjunto de planos paralelos separados de uma distância d (Fig.14).
Na figura estão representados os raios incidentes R1 e R2, associados
à onda plana em questão, os planos AA’ e BB’, pertencentes
ao conjunto de planos considerados, e o ângulo
entre cada raio da onda plana considerada e cada plano do conjunto considerado.
As ondas espalhadas interferem construtivamente produzindo um máximo
de intensidade na direção dos raios difratados R1’ e R2’
se a sua diferença de percurso for igual a um número inteiro
de comprimentos de onda:
2d sen
= n
onde n = 1, 2, 3, ... Esta é a expressão matemática
da lei de Bragg. Observe-se, de passagem, que os valores de n estão
limitados pela condição sen
<1.
Embora o argumento tenha sido levado a cabo com os planos AA’ e BB’,
todos os outros planos do conjunto de planos paralelos considerado também
contribuem, dando lugar a um máximo muito intenso.
Para radiações com um dado comprimento de onda e para um dado
conjunto de planos paralelos, isto é, para uma dada distância
d, a variação do ângulo
(Fig.15) produz direções alternadas de máximos e mínimos
de intensidade para a radiação espalhada, correspondentes à
interferência construtiva e á interferência destrutiva
respectivamente.
No experimento de C. Davisson e L. Germer (Fig.16), do filamento A, mantido
a alta temperatura pela corrente gerada pela diferença de potencial
V1, é emitido um feixe de elétrons (emissão
termoiônica). O feixe de elétrons é acelerado desde o
filamento A até a placa colimadora B pela diferença de potencial
V2. Passando pela placa colimadora, o feixe incide sobre um cristal
e é dispersado. Um detetor permite medir a intensidade do feixe de
elétrons dispersados em função do ângulo
= 2,
para valores diferentes do potencial acelerador V2, ou seja, para
diferentes energias dos elétrons incidentes no cristal.
A Fig.17(a) representa um diagrama polar da distribuição da
intensidade de um feixe de elétrons com energia de 60 eV, dispersado
por um cristal de níquel. Pela figura se pode observar que a intensidade
do feixe de elétrons dispersados tem um máximo para 2
= 50º ou
= 25º.
A Fig.17(b) mostra os resultados de experimentos nos quais a intensidade foi medida para um dado ângulo q, mas com valores diferentes do potencial acelerador, ou seja, para feixes com diferentes energias. No eixo das abcissas se coloca a raiz quadrada do potencial acelerador para que os máximos e mínimos de intensidade fiquem mais ou menos a uma mesma distância uns dos outros. Os resultados apresentados nas duas figuras são típicos da distribuição de intensidades da dispersão de ondas. Máximos e mínimos de difração iguais a esses aparecem nos experimentos de difração de Bragg, onde raios x e raios g são espalhados pelos átomos que constituem um cristal.
No experimento de Davisson e Germer, os elétrons difratados são observados usando-se a mesma geometria dos experimentos de difração de Bragg com raios x e verifica-se que a corrente de elétrons registrada pelo detetor é máxima toda vez que é satisfeita a condição de Bragg obtida, originalmente, para os raios x. Portanto, a experiência de Davisson e Germer mostra, para os elétrons, um comportamento típico das ondas.
