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Lei de Ampère

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Introdução

O estudo da corrente elétrica dentro do eletromagnetismo é muito importante para estudar diversos outros assuntos como, por exemplo, circuitos elétricos e campos elétricos. Entretanto, além de relacionar a corrente com o campo elétrico e estudar seu comportamento em circuitos, é possível também associá-la a um campo magnético e tal associação pode ser descrita com o auxílio da Lei de Ampère, como veremos a seguir.

Dada uma distribuição simétrica de corrente elétrica, é possível usar a Lei de Ampére para calcular o campo magnético total associado a esta corrente. Isto significa que existe uma relação entre um elemento de eletricidade com outro magnético e podemos calculá-los.

Em linhas gerais, é possível escrever a lei de Ampére como:

Lei de Ampère

Onde:

B é o campo magnético (em Teslas (T));
μo é a constante de permeabilidade magnética do vácuo, e vale 4π .10−7 T . m/A;
ienv é a corrente envolvida na curva amperiana (em Ampéres (A));

Vale lembrar que a integral representada do lado esquerdo da equação é uma integral de linha (identificada pelo círculo no sinal de integral), o que significa que deve ser calculada em uma curva fechada, chamada de curva amperiana, que irá delimitar a zona de estudo do campo magnético. Entretanto, para os casos que serão estudados aqui, os quais a distribuição de corrente é simétrica, não precisaremos calcular de fato esta integral, pois já conhecemos seu resultado, como veremos nos exemplos mais adiante.

A seguir, veremos a aplicação da Lei de Ampére para um fio longo reto, para um Solenoide e um Toroide, que são todas situações onde há simetria na distribuição de corrente elétrica. Os casos onde não há simetria exigem o auxílio de um computador e os cálculos tendem a ser mais complicados e não serão abordados aqui.

Campo Magnético em um fio reto

Vamos considerar agora um fio longo reto de raio R, o qual passa uma corrente i direcionada para fora da tela, como ilustra a figura 1-1. Podemos calcular o campo magnético associado a esta distribuição de corrente de duas formas, dependendo da abrangência da curva amperiana adotada. Por se tratar de um fio, sua configuração será cilíndrica e, portanto, podemos adotar uma curva amperiana cilíndrica, assim a distribuição de corrente será simétrica para qualquer ponto da curva.

Lei de Ampère
Figura 1-1: fio longo reto de raio R e sua seção transversal.

Se buscarmos analisar o comportamento do campo magnético fora do fio, devemos traçar uma curva amperiana externa e para este caso teremos como exemplo a figura 1-2. Por outro lado, se o objetivo é analisar o campo magnético dentro do fio, a curva adotada deverá ser interna e temos a figura 1-3 para ilustrar tal situação.

Lei de Ampère
Figura 1-2: curva amperiana externa ao fio

Lei de Ampère
Figura 1-3: curva amperiana interna ao fio

Campo magnético na região fora do fio

O trabalho aqui consiste em resolver a integral de linha associada à curva amperiana.

Lei de Ampère

Como a curva não depende do campo magnético B, podemos removê-lo da integral, de modo que a equação se torna:

Lei de Ampère

Por se tratar de uma integral de linha, o termo  nada mais é do que do que a circunferência da curva adotada, logo:

Lei de Ampère

Onde:

r é o raio da curva amperiana (e não do fio);

Assim temos que a lei de Ampére para o caso da região externa ao fio é:

Lei de Ampère

Campo magnético da região interna do fio

Para este o caso o processo será um pouco diferente. Do lado esquerdo da Lei de Ampére teremos a mesma situação do item 2.1, que é a resolução da integral de linha da curva amperiana. Entretanto, do lado direito teremos que observar que a corrente envolvida pela curva amperiana é proporcional a área da curva, então:

Lei de Ampère

Onde:

i é a corrente total;
R é o raio do fio;
r é o raio da curva amperiana.

Note que o termo πr2 equivale a área total do fio e o termo πR2 equivale a área da curva amperiana. No limite em que a curva se estende até as a extremidades do fio, teremos que πR2 = πr2 , e a corrente envolvida é a corrente total que perpassa o fio.

Por fim, a Lei de Ampére para o caso da região interna do fio é:

Lei de Ampère

Campo Magnético em um Solenoide

Uma bobina formada por espiras circulares muito próximas é chamada de solenoide (figura 3-1). Consideremos um solenoide cujo comprimento é muito maior que seu diâmetro.

Lei de Ampère
Figura 3-1: Representação de um solenoide

Assim como o fio reto, podemos analisar o campo magnético dentro ou fora do solenoide.

Campo Magnético no exterior de um solenoide

No exterior de um solenoide os campos produzidos pelas espiras tendem a se cancelar e o campo total é aproximadamente nulo, logo:

Lei de Ampère

Campo magnético no interior de um solenoide

Para o caso do campo magnético na região interna do solenoide teremos que o campo magnético será proporcional ao número de espiras. A amperiana adotada neste caso será um retângulo como ilustra a figura 3-2 e, portanto, seu cálculo envolverá quatro integrais, mas apenas uma terá um resultado não nulo associado ao comprimento do solenoide:

Lei de Ampère

Onde:

h é o comprimento da amperiana;

Para analisar a corrente envolvida pela amperiana devemos levar em conta analisando mais uma vez a figura 3-2 que tal corrente não será igual a corrente total uma vez que as espiras atravessam o retângulo mais de uma vez.

Lei de Ampère
Figura 3-2: Amperiana de comprimento h de um solenoide

Desta forma, podemos escrever a corrente envolvida relacionando a corrente total com o número de espiras por unidade de comprimento:

Lei de Ampère

Onde:

n é o número de espiras por unidade de comprimento;
N é o número de espiras;
h é o comprimento da amperiana adotada.

Logo,

Lei de Ampère

Onde:

i é a corrente total;

A lei de ampère então se torna:

Lei de Ampère

Ou seja, em um solenoide, o campo magnético interno é diretamente proporcional ao número de espiras por unidade de comprimento que possui.

Campo Magnético em um Toroide

Um toroide é basicamente um solenoide encurvado até que suas extremidades se toquem e forme uma circunferência completa (figura 4-1). Mais uma vez estamos interessados em encontrar o campo magnético dentro e fora do toroide.

Lei de Ampère
Figura 4-1: Toroide e sua curva amperiana. Fonte: Halliday

Campo magnético no interior de um toroide

Para este caso adotaremos como amperiana uma circunferência com o mesmo raio que o toroide (figura 4-2), de modo que a lei de ampère se torna:

Lei de Ampère

Onde:

i é a corrente nas espiras;
N é o número total de espiras.

Logo,

Lei de Ampère

Exercícios

1 –  Um fio cilíndrico longo de raio r = 1,5 cm conduz uma corrente uniforme de i = 140 A. Determine o campo magnético produzido pela corrente no fio a uma distância do eixo do fio igual a:

a) 0,75 cm

Para uma distância de 0,75 cm, temos que utilizar a equação deduzida para a região interna do fio (já que o raio é de 1,5 cm):

lei-de-ampere-21

Obs: os valores de r e R foram fornecidos em centímetros, e por isso foram convertidos para metros durante os cálculos. O mesmo valerá para o caso posterior.

b) 2 cm

Para este caso temos que utilizar a equação deduzida para a região externa do fio, já que a distância adotada é maior do que o raio do fio:

lei-de-ampere-22

2 – Considere um solenoide  com 300 espiras, 30 cm de comprimento, 15 cm de diâmetro e que conduz uma corrente de 1 A. Calcule o campo magnético no interior do solenoide.

Uma vez que o campo magnético no exterior do solenoide é nulo, precisamos somente calcular o campo na região interna, obedecendo a equação deduzida para este caso:

lei-de-ampere-23

Repare que o diâmetro do solenoide não é relevante para este cálculo.

Primeiro precisamos calcular n, o número de espiras por unidade de comprimento:

lei-de-ampere-24

Agora podemos aplicar na equação:

lei-de-ampere-25

Por Lucas Cardoso Toniol

Referências Bibliográficas

HALLIDAY, David; RESNICK; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: Volume 3. 8. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2009.

 

 

 

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