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Lei de Fourier

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A lei de Fourier, como o próprio nome indica, foi estabelecida em 1811 pelo matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph, mais conhecido por barão de Fourier. Este publicou uma teoria de propagação do calor, onde introduziu as séries trigonométricas (séries de Fourier).

A lei de Fourier constitui uma lei empírica, isto é, estabelecida a partir da experiência e descreve a teoria da condutibilidade calorífica em regimes de temperaturas estacionárias e variáveis e resolve diversos problemas: parede, barra, esfera, entre outros.

Considera-se uma barra maciça de um dado material, com secção reta constante de área A e comprimento l. Imagina-se ainda que a superfície lateral da barra está termicamente isolada, não havendo portanto trocas de calor com o exterior através dela.

A lei de Fourier permite quantificar a transmissão de calor entre os extremos da barra em regime permanente (estacionário), em função das dimensões da barra, das características do material de que ela é feita e ainda das temperaturas nos seus extremos.

A equação que traduz a lei de Fourier é: Q = k x A x (TD-TE)/l, em que Q é o débito de calor de D para E, A é a área da secção reta, l o comprimento da barra, TD e TE as temperaturas nos extremos da barra e k é a condutibilidade térmica do material de que é feita a barra.

A condutibilidade térmica de um material é uma propriedade física desse material e existem tabelas que indicam os valores de k para os diferentes materiais.

Fonte: www.infopedia.pt

Lei de Fourier

Seja J a densidade de corrente de energia (energia por unidade de área e por unidade de tempo), que é estabelecida na barra devido a diferença de temperaturas entre dois pontos da mesma. A lei de Fourier afirma que há uma proporcionalidade entre o fluxo de energia J e o gradiente de temperatura.

Lei de Fourier

Sendo K uma constante característica do material denominada condutividade térmica.

Lei de Fourier

Consideremos um elemento da barra de comprimento dx e secção S. A energia que entra no elemento de volume na unidade de tempo é JS, e a que sai é J’S. A energia do elemento varia, na unidade de tempo, de uma quantidade igual a diferença entre o fluxo entra e o fluxo que sai.

Lei de Fourier

Esta energia, é empregada para mudar a temperatura do elemento. A quantidade de energia absorvida ou cedida (na unidade de tempo) pelo elemento é igual ao produto da massa deste elemento pelo calor específico e pela variação de temperatura.

Lei de Fourier

Igualando ambas as expressões, e tendo em conta a lei de Fourier, obtemos a equação diferencial que descreve a condução térmica

Lei de Fourier

 

Solução analítica

Suponhamos uma barra metálica de comprimento L, conectada por seus extremos a duas fontes de calor a temperaturas Ta e Tb respectivamente. Seja T0 a temperatura inicial da barra quando conectamos as fontes aos extremos da barra.

Lei de Fourier

Ao cabo de certo tempo, teoricamente infinito, que na prática depende do tipo de material que empregamos, é estabelecido o estado estacionário no qual a temperatura de cada ponto da barra não varia com o tempo. Este estado é caracterizado por um fluxo J constante de energia. A lei de Fourier estabelece que a temperatura variará linearmente com a distância x a origem da barra.

Lei de Fourier

Para descrever o estado transitório buscamos uma solução da forma T(x, t)=F(xG(t), variáveis separadas

Lei de Fourier

O sinal negativo assegura o caráter transitório.

Integramos a primeira equação diferencial

Lei de Fourier

Integramos a segunda equação diferencial

Lei de Fourier

É uma equação diferencial similar a de um MHS, cuja solução é a·sen(ωr+δ)

A temperatura em qualquer ponto x ao longo da barra, em um instante determinado, T(x, t) é a solução da equação diferencial, que é uma combinação de dois termos, o que corresponde ao regime permanente mais o do regime transitório.

Lei de Fourier

Condições de contorno

Em x=0, T(0, t)=Ta, temperatura fixa do extremo esquerdo da barra

Lei de Fourier

Em x=L, T(L, t)=Tb, temperatura fixa do extremo direito da barra

Lei de Fourier

O regime variável geral de temperaturas da barra é

Lei de Fourier

Distribuição inicial de temperaturas

Somente, resta por determinar os coeficientes an, identificando esta solução com a distribuição inicial de temperaturas na barra T(x, 0)=T0 no instante t=0.

Lei de Fourier

Mais abaixo, são proporcionados os detalhes do cálculo dos coeficientes an do desenvolvimento em série ao leitor interessado.

A temperatura em qualquer ponto da barra x, em um instante t, é composta da soma de um termo proporcional a x, e de uma série rapidamente convergente que descreve o estado transitório.

Lei de Fourier

O valor de α=K/(ρc) nos da uma medida da rapidez com a qual o sistema alcança o estado estacionário. Quanto maior seja α mais rápido é alcançado o estado estacionário

Fonte: www.fisica.ufs.br

Lei de Fourier

Lei de Fourier

O fator de proporcionalidade k (condutividade térmica) que surge da equação de Fourier é uma propriedade de cada material e vem exprimir a maior ou menor facilidade que o material apresenta à condução de calor.

Os valores numéricos de k variam em extensa faixa dependendo da composição química, estado físico e temperatura dos materiais. Quando o valor de k é elevado o material é considerado condutor térmico e, caso contrário, isolante térmico. Com relação à temperatura, em alguns materiais como o alumínio e o cobre, k varia muito pouco com a temperatura, porém em outros, como alguns aços, k varia significativamente com a temperatura. Nestes casos, adota-se comumente como solução de engenharia um valor médio de k em um intervalo de temperatura. A variação da condutividade térmica com a temperatura é mostrada na figura abaixo para alguns materiais.

Lei de Fourier

Fonte: www.descolando.com.br

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