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Fluidos Reais e Ideais

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As características mais notáveis dos sólidos cristalinos são a dureza, a incompressibilidade e as propriedades geométricas. Estas propriedades podem ser explicadas em termos da teoria atômica, envolvendo a idéia de um retículo ou arranjo de átomos permanentemente ordenados, ligados entre si por forças intensas.

As características mais notáveis dos gases são a compressibilidade, a fluidez e a capacidade de preencher totalmente qualquer recipiente. A teoria cinética explica estas propriedades em termos de um modelo cuja caracterítica central é o movimento desordenado de um grande número de átomos ou moléculas que raramente exercem açães sensíveis umas sobre as outras. Assim, os sólidos e os gases apresentam comportamentos opostos.

Os líquidos apresentam algumas propriedades que aparecem nos gases e algumas propriedades que aparecem nos sólidos. Como os gases, são isotrópicos e fluem facilmente sob a ação de qualquer força e como os sólidos, são densos, relativamente incompressíveis e suas propriedades são determinadas pela natureza e intensidade das forças intermoleculares.

Em relação à estrutura microscópica, o fato de os líquidos serem isotrópicos significa que não têm estrutura organizada como os sólidos, mas como apresentam densidades, em geral, apenas cerca de 10% menor do que as dos correspondentes sólidos, suas moléculas devem estar arrumadas com certa regularidade, não apresentando o caos associado aos gases.

Teoria Cinética dos Gases Ideais

Todo modelo é uma construção imaginária que incorpora apenas as características que se supõe importantes para a descrição do sistema físico em questão, características estas selecionadas intuitivamente ou por conveniência matemática.

A validade de um modelo é determinada pela experimentação. O modelo da teoria cinética para um gás ideal [ veja também Modelo Cinético para um líquido ] se baseia no seguinte. O gás é constituído por um número muito grande de moléculas em movimento desordenado descrito pelas leis de Newton. O volume próprio das moléculas é desprezível frente ao volume do recipiente.

As forças intermoleculares são desprezíveis, exceto nas colisões mútuas e com as paredes do recipiente. As colisões são elásticas e de duração desprezível. A característica mais importante desse modelo é que as moléculas, na maior parte do tempo, não exercem forças umas sobre as outras, exceto quando colidem.

Assim, as propriedades macroscópicas de um gás são conseqüências primárias do movimento das moléculas e é por isso que se fala em teoria cinética dos gases. As conseqüências mais importantes desse modelo são as relações:

Fluidos Reais e Ideais

onde N representa o número de partículas e o fator entre parênteses, a energia cinética média das partículas. A primeira expressão relaciona a pressão e a segunda, a temperatura absoluta à energia cinética média de translação das moléculas.

Se a pressão de um gás aumenta, a energia cinética média de suas moléculas aumenta e também, a sua temperatura. A distância média percorrida por uma molécula entre duas colisões sucessivas é chamada livre caminho médio. A medida que o volume do recipiente cresce, com a temperatura constante, o livre caminho médio das moléculas se torna cada vez maior e as forças intermoleculares se tornam cada vez menos efetivas.

A medida que a temperatura cresce, com o volume constante, a energia cinética média das moléculas cresce e as forças intermoleculares se tornam cada vez menos efetivas porque o tempo de colisão diminui. Assim, o comportamento de um gás real se aproxima do comportamento de um gás ideal para baixas pressões e/ou altas temperaturas.

A alta compressibilidade de um gás é explicada pelos pequenos volumes próprios das moléculas relativamente ao espaço disponível para o seu movimento. A pressão exercida por um gás contra as paredes do recipiente é atribuída à taxa de transferência de momentum (quantidade de movimento) a estas paredes pelos impactos das moléculas.

As leis de Boyle e de Gay-Lussac valem para gases ideais. Ou seja, valem para um gás real na medida em que ele se comporta como ideal. Pela teoria cinética vimos que a pressão aumenta à medida que o volume diminui (lei de Boyle) porque as moléculas colidem com maior freqüência com as paredes do recipiente, e que a pressão aumenta com o aumento da temperatura (lei de Gay-Lussac) porque a elevação da temperatura aumenta a velocidade média das moléculas e, com isso, a freqüência das colisões com as paredes e a transferência de momentum. O sucesso da teoria cinética mostra que a massa e o movimento são as únicas propriedades moleculares responsáveis pelas leis de Boyle e de Gay-Lussac.

Forças Intermoleculares

As moléculas exercem atração umas sobre as outras quando separadas por distâncias da ordem de alguns angstroms [ 1 Å = 10-10 m ] e a intensidade destas forças diminui rapidamente à medida que as distâncias intermoleculares aumentam. Em outras palavras, as forças intermoleculares têm alcances muito curtos. Quando as moléculas estão muito próximas umas das outras, elas se repelem e a intensidade desta força de repulsão aumenta muito rapidamente à medida que diminui a separação intermolecular. Estas características das forças intermoleculares podem ser representadas pela curva da energia potencial de um par de moléculas em função da distância entre seus centros de massa. A figura mostra curvas desse tipo para três gases nobres. O Módulo da força entre duas moléculas é dado pela inclinação (com o sinal trocado) da curva no ponto correspondente à separação entre elas. Assim, para separações maiores do que o valor de r para o qual a curva atinge o seu mínimo, a força é atrativa e para separações menores, repulsiva. O valor mínimo da energia potencial e o valor de r para o qual este valor mínimo é atingido dependem da natureza das moléculas que interagem e, em geral, aumentam à medida que aumenta o seu número atômico. O valor de r para o qual U = 0 pode ser tomado como o diâmetro da molécula do gás correspondente porque representa a distância de máxima aproximação entre duas moléculas que colidem com energia cinética inicial zero.

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Para uma temperatura de 27 oC, ou seja, 300 K:

kT = (1,38 x 10-23 J/K)(300 K) = 4,14 x 10-21 J

Assim, para temperaturas ordinárias, a energia cinética média das moléculas, que é proporcional a kT [ veja Pressão, Temperatura e Energia Interna ], é maior do que o valor mínimo da energia potencial de atração de um par de moléculas. E como as moléculas estão, em geral, muito separadas umas das outras a pressões ordinárias, a energia cinética média é muito maior do que a energia potencial média de interação e é, portanto, a grande responsável pelo comportamento observado nos gases.

Gases Reais

Na Teoria Cinética dos Gases Ideais, o volume próprio das moléculas é desprezado comparado ao volume disponível para o seu movimento e também, as forças coesivas entre as moléculas são consideradas sem efeito. Assim, os desvios das leis de Boyle e de Charles observados nos gases reais dão indicações da existência de forças entre moléculas de tamanho finito e de suas intensidades.

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Se colocarmos em um gráfico a quantidade PV/RT à temperatura constante, contra a pressão, a lei de Boyle fica representada por uma linha horizontal. A figura ilustra o caso de três gases a 0 oC. A forma das curvas para o oxigênio e o dióxido de carbono pode ser entendida do seguinte modo. As forças intermoleculares são efetivas quando as moléculas estão relativamente próximas umas das outras e permanecem assim por um intervalo de tempo suficiente para que as forças atuem. Se as forças são efetivas, as moléculas chegam mais perto umas das outras do que no caso de as forças não serem efetivas. A pressões baixas, as forças não são efetivas porque as moléculas estão muito afastadas. E a temperaturas elevadas, mesmo com altas pressões, as forças também não são efetivas porque as moléculas, movendo-se muito depressa, não permanecem um tempo suficiente próximas uma das outras. Para baixas temperaturas, à medida que a pressão é aumentada a partir de zero, as moléculas começam a ser comprimidas em volumes cada vez menores e as forças intermoleculares, tornando-se efetivas, agem de forma a tornar as moléculas mais próximas umas das outras. Assim, a densidade do gás cresce a uma taxa maior do que a taxa causada apenas pelo aumento da pressão. O produto da pressão pelo volume decresce porque o volume diminui mais rapidamente do que o aumento de pressão. Quando o volume próprio das moléculas começa a ficar importante frente ao volume disponível para o seu movimento, ocorre um efeito oposto. A medida que as moléculas são amontoadas em um volume cada vez menor, o seu volume próprio vai se tornando cada vez mais significativo em relação ao volume do recipiente e o espaço disponível para o seu movimento decresce. O dobro de moléculas, por exemplo, só podem ser espremidas no que é realmente menos da metade do volume apenas por uma pressão que é mais do que duplicada, e o produto PV cresce com a pressão.

Deste modo, para pressões suficientemente altas e temperaturas suficientemente baixas, as forças coesivas assumem um papel dominante. Se elas vencem as tendências cinéticas das moléculas, o gás pode perder suas propriedades características e se condensar num líquido ou num sólido.

Viscosidade nos Gases

Em um gás, as moléculas estão em média longe umas das outras de modo que as forças de coesão não são efetivas. A viscosidade do gás não vem do atrito interno, mas da transferência de momentum (quantidade de movimento) entre camadas adjacentes que se movem com velocidade relativa não nula. As moléculas que cruzam a fronteira entre as camadas partindo da camada que se move mais rapidamente transferem uma quantidade de movimento maior à camada que se move menos rapidamente do que a quantidade de movimento que as moléculas desta camada transferem àquela ao cruzarem, por sua vez, a fronteira entre as camadas. Assim, a velocidade da camada mais rápida tende a diminuir e a velocidade da camada mais lenta, a aumentar, de modo que a velocidade relativa tende a diminuir.

Modelo Cinético de um Líquido

Nos líquidos e nos gases [ veja Teoria Cinética dos Gases Ideais ], as moléculas estão em movimento contínuo e desordenado, sendo tanto a energia cinética média quanto a fração de moléculas com dado valor de energia cinética as mesmas nas duas fases, à mesma temperatura. Num líquido, porém, as moléculas estão muito mais próximas umas das outras, em média, do que nos gases, e as forças intermoleculares são muito mais efetivas, de modo que a energia potencial é menor (as forças são atrativas) e o livre caminho médio, muito menor, do que os correspondentes para as moléculas de fase gasosa. Muitos experimentos simples sugerem a existência destas forças intermoleculares de curto alcance. Uma placa de vidro, por exemplo, pode ser colocada muito perto da superfície de um líquido sem ser especialmente atraída em sua direção. Mas se a placa de vidro toca o líquido, o líquido adere à placa com surpreendentemente tenacidade. Se dois blocos cuidadosamente polidos são pressionados um contra o outro, forças surpreendentemente grandes são necessárias para separá-los. Uma gota de mercúrio, em vez de se espalhar como uma camada de espessura infinitesimal devido à atração gravitacional, assume uma forma quase esférica. Os processos de soldagem e caldeamento são processos que dependem da existência de forças intermoleculares.

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Quando uma substância passa do estado sólido para o estado líquido, na maioria dos casos, o volume aumenta cerca de 10%. E com o aquecimento, o líquido experimenta uma expansão (dilatação) contínua. Este aumento de volume após a fusão é uma conseqüência do aumento da separação média das moléculas e de um ligeiro decréscimo na efetividade das forças intermoleculares.

Em um líquido (azul), as moléculas, em sua grande maioria, estão densamente empacotadas, mas sem a estrutura reticular dos sólidos (laranja). No líquido, existem regiões onde os arranjos moleculares são empacotamentos densos quase perfeitos e regiões onde as moléculas têm menos vizinhos. Esta irregularidade introduz vazios que, devido ao movimento desordenado das moléculas, não têm posição, forma ou tamanho fixos. Estes vazios fazem com que a distância média entre as moléculas do líquido seja maior do que a do sólido, de modo que a correspondente energia potencial intermolecular média é também maior. Por isso, por exemplo, que se deve fornecer energia para que a substância passe do estado sólido para o estado líquido.

Existem outras propriedades dos líquidos que podem ser explicadas em termos de sua estrutura desordenada. Por exemplo, a fluidez. Um sólido normalmente tem uma estrutura rígida e o líquido, uma estrutura que cede facilmente sob a ação de qualquer força aplicada. A deformação de um sólido cristalino perfeito importa em deslocar, ao mesmo tempo, planos de átomos em relação o outros planos, ou seja, romper as ligações entre um grande número de átomos. Este número diminui com o aumento do número de imperfeições no retículo cristalino. Num líquido, existe grande número de imperfeições (ou vazios), de modo que são muitas as possibilidades pelas quais alguns átomos podem se mover simultaneamente, sendo relativamente fracas as forças intermoleculares que se opõem a tal movimento. Uma molécula pode se deslocar para um vazio vizinho deixando outro vazio para ser ocupado por outra molécula, e assim por diante.

Viscosidade nos Líquidos

A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto é, das forças de coesão entre moléculas relativamente juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade dos gases cresce com o aumento da temperatura, nos líquidos ocorre o oposto. Com o aumento da temperatura, aumenta a energia cinética média das moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo que as moléculas passam umas junto das outras, menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e menor a viscosidade. Para entender a natureza da viscosidade nos líquidos, suponhamos duas placas sólidas planas, uma sobre a outra, com um fluído contínuo entre elas. Aplicando uma força constante a uma das placas, a experiência mostra que ela é acelerada até atingir uma velocidade constante (chamada velocidade terminal). Se a intensidade da força aplicada for duplicada, por exemplo, a velocidade terminal também duplica. A velocidade terminal é proporcional à força aplicada. Pensando que o líquido entre as placas se separa em lâminas paralelas, o efeito da força aplicada é o de produzir diferenças de velocidade entre lâminas adjacentes. A lâmina adjacente à placa móvel se move junto co ela e a lâmina adjacente à placa imóvel permanece também imóvel.

Fluidos Reais e Ideais

O atrito entre lâminas adjacentes causa dissipação de energia mecânica e é o que causa a viscosidade no líquido.
É um fato experimental que o módulo F da força aplicada, necessária para manter o movimento da placa com velocidade de módulo v constante, é diretamente proporcional à área A da placa e ao módulo da velocidade e inversamente proporcional à distância L entre as placas. Assim, podemos escrever:

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definindo o chamado coeficiente de viscosidade h do fluido, que depende do fluido e da temperatura. No SI, a unidade correspondente é pascal x s e no sistema cgs, o poise, de modo que 1 Pa x s = 10 poise. A tabela abaixo mostra alguns coeficientes de viscosidade.

Coeficientes de Viscosidade

Líquidos (poise) Gases (10-4 poise)
Glicerina (20 ºC) 8,3 Ar(0 ºC) 1,71
Água (0 ºC) 0,0179 Ar (20 ºC) 1,81
Água (100 ºC) 0,0028 Ar (100 ºC) 2,18
Éter (20 ºC) 0,0124 Água (100 ºC) 1,32
Mercúrio (20 ºC) 0,0154 CO2 (15 ºC) 1,45

Os coeficientes de viscosidade dos óleos lubrificantes automotivos são normalmente expressos em SAE . Um óleo cuja viscosidade SAE é 10 a 55 oC, por exemplo, possui viscosidade entre 1,6 e 2,2 poise.
Ao definirmos o coeficiente de viscosidade escolhemos o caso em que o fluido, por efeito do movimento de uma das placas, separava-se em camadas muito estreitas, com a camada em contato com cada placa tendo a velocidade desta placa e as camadas intermediárias tendo velocidades que variam linearmente de uma placa para a outra. Tal escoamento é chamado laminar ou amelar.
O cociente t = F/A é chamado tensão de cisalhamento. De modo geral:

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mostrando a variação da velocidade das camadas de fluido com a distância à placa parada. Esta expressão representa a chamada lei de Newton para a viscosidade e o fluido para o qual ela é verdadeira é chamado fluido newtoniano. Entretanto, existem fluidos como os que são suspensões de partículas que não seguem esta lei. Por exemplo, o sangue, uma suspensão de partículas com formas características, como discos, no caso das células vermelhas. As partículas têm orientações aleatórias em pequenas velocidades, mas tendem a se orientar a velocidades mais altas, aumentando o fluxo, com a velocidade crescendo mais rapidamente do que a força.

Lei de Stokes

Consideremos uma esfera de raio R movendo-se através de um fluido com uma velocidade constante. Então, sobre esta esfera existe uma força de resistência exercida pelo fluido, cujo módulo F depende do coeficiente de viscosidade h do fluido, do raio R da esfera e do módulo v de sua velocidade (se este é pequeno). A única maneira pela qual estas grandezas podem ser combinadas para que o resultado tenha dimensão de força é no produto Fluidos Reais e IdeaisRv. Pela análise física deste problema, Stokes descobriu que o módulo da força de resistência do fluido sobre a esfera se escreve (lei de Stokes):

Fluidos Reais e Ideais

É interessante notar que se as gotas de chuva provenientes de nuvens situadas a alguns quilômetros de altura não encontrassem a resistência do ar, elas seriam extremamente danosas ao atingir qualquer corpo na superfície da Terra. Isto não acontece porque elas alcançam uma velocidade terminal pequena. Para gotas de 1 mm de diâmetro, por exemplo, o módulo desta velocidade vale cerca de 4,3 m/s e para gotas de 2 mm de diâmetro, vale cerca de 5,8 m/s.

Atividade Experimental

O objetivo desta atividade é determinar do coeficiente de viscosidade de um líquido através da lei de Stokes. Consideremos uma esfera que cai sob o efeito de seu peso com velocidade constante (velocidade terminal), através de um fluido viscoso. As forças que agem na esfera são, além do seu peso, o empuxo [ veja Teorema de Arquimedes ] e a força de resistência do fluido, de módulos P, E e F, respectivamente. Como a velocidade da esfera é constante: P = E + F. E sendo R o raio da esfera, m, sua massa, r, sua densidade, r*, a densidade do fluido em questão e g, o módulo da aceleração gravitacional, temos:

Fluidos Reais e Ideais

ou

Fluidos Reais e Ideais

Assim, medindo-se a velocidade terminal da esfera pode-se determinar o coeficiente de viscosidade do fluido. Encha uma proveta com o líquido de densidade conhecida e cujo coeficiente de viscosidade deseja determinar. Abandone uma esfera de raio e densidade conhecidas dentro do líquido, medindo o tempo que leva para percorrer uma certa distância, cuidando que a esfera tenha atingido a velocidade terminal. Calcule o módulo desta velocidade. Repita o procedimento algumas vezes e calcule o módulo da velocidade terminal média. Agora, com os dados conhecidos e com os obtidos, calcule o coeficiente de viscosidade do líquido com a fórmula acima.

Número de Reynolds

Fluidos Reais e Ideais

Quando a velocidade de um fluido que escoa em um tubo excede certo valor crítico, o regime de escoamento passa de lamelar para turbulento, exceto em uma camada extremamente fina junto à parede do tubo, chamada camada limite, onde o escoamento permanece laminar. Além da camada limite, onde o escoamento é turbulento, o movimento do fluido é altamente irregular, caracterizado por vórtices locais e um grande aumento na resistência ao escoamento. O regime de escoamento, se lamelar ou turbulento, é determinado pela seguinte quantidade adimensional, chamada número de Reynolds:

Fluidos Reais e Ideais

onde r é a densidade do fluido, Fluidos Reais e Ideais, seu coeficiente de viscosidade, [v], o módulo da sua velocidade média de escoamento para frente e D, o diâmetro do tubo. Esta velocidade média é definida como a velocidade uniforme em toda a seção reta do tubo que produziria a mesma vazão. Verifica-se experimentalmente que o escoamento de um fluido é:

lamelar se NR < 2 000

turbulento se NR > 3 000

instável, mudando de um regime para outro se 2 000 < NR < 3 000

Por exemplo, a 20 ºC,Fluidos Reais e Ideais = 1 x 10 – 2 poise para a água e Fluidos Reais e Ideais = 1,81 x 10- 8 poise para o ar. Em um tubo de 1 cm de diâmetro, os módulos das velocidades médias máximas de escoamento laminar seriam v = 20 cm/s e 278 cm/s, respectivamente. E o escoamento seria turbulento para velocidades médias de escoamento acima de, respectivamente, 30 cm/s e 420 cm/s.

Com a Lei de Stokes, vimos que a força resistiva sobre uma esfera que se move em um fluido viscoso com uma velocidade não muito grande é proporcional ao módulo desta velocidade. Por outro lado, a força resistiva sobre qualquer objeto sólido que se move em um fluido viscoso com velocidades maiores é aproximadamente proporcional ao módulo da velocidade ao quadrado. Reynolds, estudando a causa destas duas diferentes leis de atrito nos fluidos, descobriu que a mudança da lei de primeira potência para a de segunda potência não era gradual, mas sim, brusca, e ocorria, para qualquer fluido dado e qualquer aparato de medida, sempre na mesma velocidade crítica. Reynolds mostrou experimentalmente que esta mudança acontecia simultaneamente com a mudança no regime do escoamento do fluido no aparato de medida, de laminar para turbulento.

O experimento consistia em introduzir um fio de líquido colorido no centro de um tubo através do qual o mesmo líquido, sem corante, escoava com uma velocidade controlada. A baixas velocidades de escoamento, o fio de líquido colorido permanecia reto e contínuo pelo comprimento do tubo e quando certa velocidade crítica era atingida, a linha colorida era violentamente agitada e sua continuidade destruída por curvas e vórtices, revelando assim fluxo turbulento. Exatamente nesta velocidade crítica é que a lei de atrito no fluido passava de uma lei de primeira potência para uma de segunda potência.

Atividade Experimental

O objetivo desta atividade é determinar o número de Reynolds para a água.

Conecte uma mangueira transparente a uma torneira.

Abra a torneira, produzido escoamento de água na mangueira.

Lentamente, com uma seringa, introduza um corante no centro da mangueira e simultaneamente, abra mais e mais a torneira.

Determine, pela medida da vazão, a velocidade do fluido no instante em que o regime passa de lamelar para turbulento.

Repita várias vezes todo o procedimento para encontrar um valor médio para a velocidade do fluido.
Com esse valor médio e os valores conhecidos do diâmetro da mangueira, D, da densidade da água, r, e do seu coeficiente de viscosidade à temperatura ambiente , h, calcule o número de Reynolds pela fórmula dada acima.

Tensão Superficial

As forças intermoleculares nos líquidos são diretamente responsáveis por fenômenos de capilaridade tais como a subida de líquido em tubos capilares e a completa umidificação de uma toalha quando uma ponta fica mergulhada na água e também por fenômenos de superfície tais como uma agulha que flutua sobre a superfície da água, muito embora sua densidade seja muito maior do que a da água, e a caminhada dos insetos sobre superfícies líquidas, violando aparentemente o Teorema de Arquimedes.

Fluidos Reais e Ideais

Consideremos um líquido em equilíbrio com seu vapor. Uma molécula no interior do líquido é solicitada radialmente e, em média, igualmente em todas as direções, pelas forças de atração das moléculas vizinhas, de modo que estas forças estão perfeitamente balanceadas. Em geral, esta atração é efetiva apenas por uma distância d, chamada de alcance molecular, cujo valor é da ordem de 10- 7 cm. Para uma molécula que se encontra a uma distância da superfície do líquido menor do que d, as forças sobre ela se tornam desbalanceadas, já que um hemisfério com esse raio, abaixo dela, está preenchido totalmente com moléculas que a atraem, e o hemisfério acima dela, por se estender além da superfície do líquido, está preenchido apenas parcialmente com moléculas que a atraem. Para uma molécula exatamente na fronteira do líquido, o desbalanceamento das forças é máximo. Assim, existe uma forte tendência de as moléculas que se encontram dentro de uma camada superficial de espessura d serem puxadas para o interior do líquido e por isso a superfície do líquido tende a se contrair espontaneamente nesta direção.

Se um líquido tem uma interface com o seu próprio vapor, as moléculas da camada superficial estão submetidas a uma força dirigida para o interior do líquido. Se uma molécula da camada superficial se move para o interior do líquido, esta força realiza um trabalho positivo sobre ela. E se uma molécula se move do interior do líquido para a camada superficial, esta força realiza um trabalho negativo sobre ela. Assim, a superfície de um líquido pode ser aumentada se um certo número de moléculas passa do interior do líquido para a camada superficial e isso pode acontecer pela realização de trabalho externo. E a diminuição da superfície permite a realização de trabalho para o exterior. Sendo dA uma variação infinitesimal da área da superfície de um líquido (a temperatura constante), o trabalho da força dirigida para o interior pode ser escrito:

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definindo o coeficiente de tensão superficial ou, simplesmente, a tensão superficial, g, do líquido, para caracterizar as propriedades da camada superficial. A tabela a seguir mostra alguns valores de tensão superficial.

Tensão Superficial para Líquidos em Contato com o Ar

Substância Temperatura Fluidos Reais e Ideais (10-2 N/m)
Azeite 20 3,20
Glicerina 20 6,31
Água 60 6,62
Água 20 7,28
Água 0 7,56
Mercúrio 20 46,50

As moléculas da camada superficial do líquido têm energia potencial maior do que as moléculas do interior, energia esta que resulta do trabalho realizado pelas forças de atração exercidas pelas moléculas do interior do líquido sobre as que se deslocam para a superfície. E como qualquer sistema em equilíbrio está no estado, dentre os possíveis, para o qual a sua energia é mínima, um líquido em equilíbrio deve ter a menor área superficial possível, ou seja, devem existir forças agindo no sentido de reduzir esta área. Um líquido se comporta, portanto, como se existissem forças tangentes à superfície, chamadas forças de tensão superficial, e o coeficiente g pode ser pensado como a força de tensão superficial por unidade de comprimento.

Atividade Experimental

O objetivo desta atividade é ilustrar as forças de tensão superficial.

Fluidos Reais e Ideais

Tomando um pedaço de arame, dê-lhe a forma de um anel.

Introduza o anel de arame em uma solução de água com sabão de modo que fique recoberto com uma fina película da solução.

Coloque um laço de linha de costura sobre a película e observe a forma tomada pelo laço.

Agora, destruindo a película dentro do laço, observe a forma tomada pelo laço. Explique a mudança de forma do laço.

Tomando um pedaço de arame mais grosso, dê-lhe a forma de um anel.

Introduza o anel de arame em uma solução de água com sabão de modo que fique recoberto com uma fina película da solução.

Sacuda rapidamente o arame para produzir bolhas de sabão, observando a sua forma esférica. Explique a formação das bolhas.

Um experimento como este só pode ser conduzido com líquidos que formam películas. A habilidade de formar películas não está ligada ao valor da tensão superficial, mas à estrutura molecular. A tensão superficial de uma solução de sabão, por exemplo, é aproximadamente 1/3 da tensão superficial da água pura, mas esta última não forma películas estáveis. Ao se destruir a película dentro do laço, no experimento descrito acima, a forma tomada pelo laço é a de uma circunferência por efeito das forças de tensão superficial da parte restante da película, que atuam perpendicularmente à linha de costura em todos os seus pontos. A tendência de reduzir a área superficial é característica não apenas de películas mas também de qualquer volume líquido. Se a energia superficial fosse o único fator a determinar o comportamento, qualquer massa líquida teria forma esférica, já que esta é a forma com área superficial mínima para um dado volume.

Por outro lado, com raras exceções, a tensão superficial decresce com o aumento da temperatura. Com maior energia cinética, as moléculas passam menos tempo próximas umas das outras e as forças intermoleculares perdem eficiência.

Tensoativos

A água não molha muito bem as superfícies onde é aplicada e, por isso, não lava eficientemente. Isto pode ser observado quando enchemos um copo e o esvaziamos: o recipiente fica umedecido internamente de forma irregular, apresentando áreas secas e áreas úmidas. Para aumentar a eficiência da água na remoção de manchas e sujeiras de roupas, por exemplo, adiciona-se compostos chamados tensoativos que diminuem a tensão superficial, favorecendo o seu espalhamento e promovendo um contato mais íntimo com a superfície a ser limpa. Estes compostos são os principais componentes dos detergentes.

Os tensoativos reduzem a tensão superficial porque suas moléculas têm uma cabeça hidrofílica (com afinidade com a água) e uma cauda hidrofóbica (com pouca ou nenhuma afinidade com a água). A primeira adere às moléculas de água, quebrando suas atrações intermoleculares e permitindo a expansão da área de contato da água com a superfície que deve molhar.

Os tensoativos também ajudam a deslocar e a dispersar as partículas de sujeira. A maior parte da sujeira é do tipo graxa. Nesse caso, as caudas hidrofóbicas das moléculas do tensoativo se fixam na sua superfície, com as cabeças hidrofílicas em contato com a água. Assim, a graxa fica isolada do tecido, podendo ser deslocada com o fluxo de água. Por outro lado, depois que as partículas de sujeira são removidas, devem permanecer dispersas. As cabeças hidrofílicas das moléculas do tensoativo, em camada ao redor das partículas de sujeira, ajudam a evitar um novo contato com a superfície do tecido.

Gotas de Líquido

Além das forças intermoleculares, que originam as forças de tensão superficial, atuam no líquido forças externas como a força da gravidade e as forças de interação das moléculas do líquido com as partículas das paredes do recipiente. A forma tomada pela massa líquida é determinada pela relação entre estas forças. A força gravitacional, por si própria, não pode afetar a forma do líquido porque causa a mesma aceleração em todas as suas partículas. Isso explica, por exemplo, a forma esférica de um líquido em queda livre (descontando-se o leve achatamento vertical devido à resistência do ar). Um líquido apoiado sobre uma superfície ou que pende de um tubo adquire forma esférica se a força gravitacional é pouco importante, como no caso das pequenas gotas. Nesse caso, a energia potencial superficial, e não a gravitacional, é que governa a forma.

Fluidos Reais e Ideais

Quando o líquido abandona um tubo, por exemplo, o tamanho da gota gradualmente aumenta até tingir um valor bem definido. Isto ocorre porque, enquanto a gota não é grande o suficiente, as forças de tensão superficial são suficientes para contrabalançar a força gravitacional e impedir a sua separação do resto da massa líquida. A gota se separa quando o módulo do seu peso fica igual ao módulo da força de tensão superficial que a segura, de modo que a observação da formação de gotas permite determinar a tensão superficial do líquido em questão.

Quando da formação de uma gota, antes da sua separação do resto do líquido, um pescoço é formado cujo raio é um pouco menor que o raio do tubo. O módulo da força de tensão superficial que atua ao longo da circunferência desse pescoço, no momento da separação, deve ser igual ao módulo da força peso:

Fluidos Reais e Ideais

onde r é o raio do pescoço e m, a massa da gota. Medindo-se o módulo do peso da gota e o raio do pescoço no momento da separação, pode-se calcular a tensão superficial.
O método descrito acima para a determinação da tensão superficial dá bons resultados embora, na realidade, uma gota não se separe exatamente da forma descrita. No momento em que a gota atinge o tamanho determinado pela expressão acima, o pescoço rapidamente se torna mais estreito e a gota formada é acompanhada por outra gota pequena.

As moléculas de um fluido não guardam suas posições relativas e o fluido toma, assim, a forma do recipiente. E, em condições favoráveis, escoam. Os fluidos são constituídos por um grande número de partículas em movimento desordenado e em constantes colisões.

Para ser exato na análise de qualquer fenômeno que envolva fluidos deve-se considerar pois a ação de cada molécula ou grupo de moléculas. Tal procedimento é adotado na teoria cinética e na mecânica estatística e é muito laborioso sob o ponto de vista matemático. Em se tratando de estabelecer relações entre grandezas macroscópicas associadas ao escoamento de fluidos, contudo, pode-se substituir o meio granular (molecular) real por um meio contínuo hipotético, facilitando o tratamento matemático. De qualquer modo, a idéia do contínuo deve ser usada apenas nos casos em que conduz a uma descrição razoavelmente aproximada dos fenômenos em questão. Por exemplo, não pode ser usada na descrição da tensão superficial porque as dimensões características do fenômeno são da ordem do livre caminho médio das moléculas que constituem o fluido.

Assim, vamo-nos restringir aqui ao estudo dos fluidos ignorando os fenômenos de tensão superficial, capilaridade e viscosidade, e tomando os fluidos como incompressíveis. Em outras palavras, fluidos ideais e, quando for o caso, em regime de escoamento estacionário.

A Hidrostática estuda os fluidos em repouso considerando o equilíbrio das pressões que atuam em qualquer elemento de volume.

A Hidrodinâmica estuda os fluidos em movimento. O estudo da dinâmica dos fluidos é complexo e difícil, envolvendo matemática muito avançada. A tarefa que podemos realizar aqui é estudar os fenômenos que podem ser descritos apenas com os princípios de conservação da massa e da energia, o primeiro expresso neste contexto pela equação da continuidade e o segundo, pela equação de Bernoulli e restringindo-nos ao caso de fluidos ideais.

Pressão e Densidade

Um sólido, sendo rígido, pode experimentar a ação de uma força que atue sobre um único ponto. Um fluido, contudo, só experimenta a ação de uma força através de uma superfície. Assim, a grandeza relevante aqui é a pressão, definida como o cociente do módulo da força normal pela área da superfície sobre a qual atua: P = F/A. No SI, a unidade de pressão é o pascal, simbolizado por Pa.

Discutir

Tênis permitem um andar mais eficiente sobre areia do que sapatos de salto alto.

Um tijolo exerce pressões diferentes sobre um plano horizontal conforme a face apoiada no plano.
Outras unidades de pressão: 1 Bar = 107 Pa, 1 mBar = 10-3 Bar = 104 N/m2 e 1 hPa = 102 Pa (h = hecto).
Definimos densidade (ou massa específica) de um corpo como o cociente de sua massa pelo seu volume: Fluidos Reais e Ideais= m/V.

Atividade Experimental

O objetivo desta atividade é estudar a pressão pelo seguinte procedimento: um corpo de carga é abandonado, sempre da mesma altura, sobre pregos com pontas de áreas diferentes, verticalmente apoiados sobre uma barra de sabão.
Observe a distância de penetração de cada prego.
Repita o procedimento substituindo a barra de sabão por uma tábua.
Discuta se a pressão sobre o sabão será diferentede para diferentes alturas iniciais do corpo de carga. Note que o peso do corpo de carga é o mesmo, independente da altura de que é abandonado.

Atividade Experimental

O objetivo desta atividade é determinar a densidade da água e de alguns corpos sólidos.
Determine a massa de um balão graduado.

Coloque água neste balão, anotando o correspondente volume e determine a massa do balão com a água dentro.

Com os números obtidos, calcule a densidade da a´gua.

Por outro lado, o volume de um corpo de forma regular como um cubo ou um cilindro, por exemplo, pode ser obtido pela medida direta de suas dimensões e o volume de um corpo de forma irregular pode ser determinado pelo aumento aparente do volume de um líquido onde é mergulhado.
Para alguns corpos, determine a massa com uma balança.

Para determinar o volume de cada corpo, encha uma proveta com água e mergulhe-o totalmente, anotando o acréscimo aparente de volume experimentado pela água.

Com os números obtidos, calcule as respectivas densidades.

Discuta em que condições as densidades assim determinadas são idênticas às densidades das substâncias de que são feitos os corpos.

A Terra está envolvida por uma camada de ar, a atmosfera. A pressão atmosférica (PATM) é a pressão exercida sobre a superfície da Terra pelo peso da atmosfera. Um modo de medir a pressão atmosférica é a experiência de Torricelli. Torricelli usou um tubo de vidro com aproximadamente 1 m de comprimento fechado em uma das extremidades, e cheio de mercúrio, emborcando-o em um recipiente contendo também mercúrio, sem que entrasse ar no tubo. A coluna de mercúrio no interior do tubo permaneceu com uma altura de aproximadamente 760 mm, sustentada pela pressão atmosférica na superfície livre do mercúrio dentro do recipiente.

A pressão atmosférica é equivalente à pressão de uma coluna de mercúrio de 760 mm de altura, ao nível do mar, a 0 ºC e em um local onde a aceleração gravitacional tem módulo g = 9,81 m/s2. Escrevemos, simbolicamente: PATM = 760 mmHg = 1 atm.

A pressão atmosférica ao nível do mar pode ser calculada pela expressão:

PATM = mg/A = Fluidos Reais e IdeaisVg/A = Fluidos Reais e Ideaisgh

e como o mercúrio tem uma densidade de 13,6 x 103 kg/m3 temos:

PATM = (13,6 x 103 kg/m3)(9,81 m/s2)(0,76 m) = 105 Pa

Discutir

Unidade prática de pressão, o metro de água.
Sugar líquido com um canudinho adaptado a um recipiente fechado.

Variação da Pressão com a Profundidade

Fluidos Reais e Ideais

Para demonstrar o teorema fundamental da hidrostática que estabelece que a pressão em um fluido (com densidade constante) varia linearmente com a profundidade, vamos considerar uma porção imaginária de fluido na forma de um cilindro circular reto com seção reta de área A e altura h, com a face superior livre para a atmosfera. A seção superior do cilindro recebe da atmosfera uma força de módulo F1 = APATM e a porção de fluido abaixo da base do cilindro imprime nesta base uma força de módulo F2 = AP(h), onde P(h) é a pressão no interior do fluido a uma profundidade h. O cilindro imaginário tem massa m = Fluidos Reais e IdeaisV = Fluidos Reais e IdeaisAh, onde Fluidos Reais e Ideaisé a densidade do fluido. Como esta porção de fluido na forma de um cilindro está em repouso com o resto do fluido: F2 = F1 + mg e com as expressões acima vem:

P(h) = PATM + Fluidos Reais e Ideaishg

que é a expressão matemática do teorema fundamental da Hidrostática.

Discutir

Fluidos Reais e Ideais

A superfície livre de um líquido é plana e horizontal.
Se a superfície livre de um líquido não fosse plana e horizontal, dois pontos do fluido, estando na mesma horizontal e a profundidades diferentes, estariam submetidos a pressões diferentes e, então, existiria movimento interno do fluido para anular esta diferença de pressão.

Atividade Experimental

O objetivo desta atividade é determinar se dois pontos do espaço estão no mesmo nível por um procedimento muito usado pelos pedreiros. A água, preenchendo sem bolhas de ar uma mangueira, apresenta-se no mesmo nível nas suas duas extremidades.

Tome um pedaço de mangueira transparente e encha-o com água.

Cuide para não haver bolhas de ar no interior do líquido.

Agora, saia por aí verificando o nível das coisas.

Fluidos Reais e Ideais

Teorema de Pascal

Fluidos Reais e Ideais

A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido homogêneo em repouso é constante, dependendo apenas do desnível entre esses pontos. Portanto, se uma variação de pressão for produzida em um ponto do fluido em repouso, essa variação deve se transmitir a todos os outros pontos. Este resultado constitui o teorema de Pascal.

Discutir

A prensa hidráulica como aplicação do teorema de Pascal.
Sendo f o módulo da força aplicada ao êmbolo do cilindro de menor diâmetro, de seção reta com área a, e F, o módulo da força do fluido sobre o êmbolo de maior diâmetro, de seção reta com área A, como a pressão exercida pela força aplicada se transmite integralmente a todos os pontos do fluido, temos

f/a = F/A
ou:
F = (A/a) f

Teorema de Arquimedes

Fluidos Reais e Ideais

Considerando um corpo cilíndrico reto, com seção reta de área A e altura h, totalmente imerso em um fluido de densidade r, a resultante das forças exercidas pelo fluido sobre o cilindro será vertical (já que por simetria as forças laterais se cancelam mutuamente) e terá módulo E = F2 – F1 ou [ veja Variação da Pressão com a Profundidade ]:

E = A (P2 – P1) = A [(PATM + Fluidos Reais e Ideaisgh2) – (PATM + Fluidos Reais e Ideaisgh1)] = Fluidos Reais e IdeaisA (h2 – h1)g = Fluidos Reais e IdeaisVg = mg

Como o resultado final não depende da forma do corpo, podemos supor que seja geral. Assim, como a diferença de pressão entre dois pontos de um líquido homogêneo em repouso é constante e depende apenas do desnível entre esses pontos, um corpo total ou parcialmente mergulhado em um fluido recebe deste uma força (chamada empuxo) vertical, de baixo para cima, de módulo igual ao módulo o peso do fluido deslocado. Este resultado constitui o teorema de Arquimedes.

Discutir

Fluidos Reais e Ideais

O empuxo de um corpo mergulhado a água e no ar.

Os diabretes de Descartes.

Coloque algumas ampolas parcialmente cheias de água com as aberturas para baixo no interior de uma garrafa plástica (de refrigerante, por exemplo), completamente cheia de água e tampada. Observe as alturas das ampolas quando estas atingem o equilíbrio. Nesta situação, para cada ampola (pensada juntamente com o seu conteúdo, em parte água e em parte ar), o módulo do respectivo peso é igual ao módulo do respectivo empuxo. Apertando a garrafa, observe que as ampolas descem e soltando a garrafa, observe que as ampolas voltam às alturas iniciais. Apertando a garrafa, segundo o teorema de Pascal, o acréscimo de pressão chega até a abertura de cada ampola, comprimindo o ar interior e diminuindo o seu volume. Assim, mais água entra em cada ampola e o respectivo peso aumenta. Como o empuxo não mais balanceia o peso, as ampolas descem. Soltando a garrafa, o acréscimo de pressão desaparece, o ar comprimido no interior de cada ampola empurra a respectiva quantidade de água que havia entrado para fora e o peso da ampola volta a ser o peso inicial. As ampolas voltam às alturas iniciais.

Equação da Continuidade

Dizemos que um fluido escoa em regime estacionário ou lamelar se, em cada ponto do espaço, ele tem sempre as mesmas velocidade e pressão.

Consideremos um fluido de densidade r em escoamento estacionário em uma tubulação sem derivações. As massas das quantidades de fluido que escoam através de duas seções de áreas A1 e A2, durante o intervalo de tempo Dt são:

m1 = Fluidos Reais e IdeaisA1v1Fluidos Reais e Ideaist

m2 = Fluidos Reais e IdeaisA2v2Fluidos Reais e Ideaist

onde v1 e v2 são os módulos das velocidades de escoamento nas seções 1 e 2, respectivamente. Como não existem derivações, m1 = m2, ou seja:

A1v1 = A2v2

Esta é a equação da continuidade e expressa, na Hidrodinâmica, o princípio de conservação da massa. Outra maneira de apresentá-la é escrevendo Av = constante. A quantidade Q = Av é chamada vazão e representa o volume de fluido que escoa através de uma seção reta por unidade de tempo.

Discutir

Filete de água na vertical.
Por efeito da força da gravidade, a água que sai verticalmente de uma torneira, por exemplo, tem sua velocidade aumentada. Pela equação da continuidade, a área da seção reta do jato de água diminui à medida que a velocidade aumenta.
Estreitamento da mangueira para que a água atinja maior distância.

Equação de Bernoulli

Para um fluido em escoamento estacionário em uma tubulação, o teorema do trabalho-energia cinética (W = DEC) permite-nos escrever:

WG + WP = (Fluidos Reais e IdeaisV/2)[v22 – v12]

onde m = rV é a massa de fluido em um certo volume V, que entra no segmento de tubulação considerado com velocidade de módulo v1 e sai com velocidade de módulo v2 e onde:

Fluidos Reais e Ideais

WG = – rVg(y2 – y1)
e
WP = – F2Fluidos Reais e Ideaisx2 + F1Dx1 = – (P2 – P1)V

representam, respectivamente, o trabalho da força gravitacional e o trabalho do resto do fluido sobre a porção considerada. Substituindo na primeira equação e reorganizando os termos vem:

P1 + Fluidos Reais e Ideaisgy1 + (r/2)v12 = P2 + Fluidos Reais e Ideaisgy2 + (r/2)v22

Esta é a equação de Bernoulli. Uma outra forma de apresentá-la é a seguinte:

P + Fluidos Reais e Ideaisgy + (Fluidos Reais e Ideais/2)v2 = constante

Discutir

Sopro sobre uma folha de papel.

Segure uma folha de papel na posição horizontal, na altura da boca, e sopre fortemente sobre a folha. Observe e tente explicar o ocorrido.

Fluxo de ar entre duas bolinhas de ping-pong.

Suspenda duas bolinhas de pingue-pongue, separadas por uma distância de uns 3 cm, por fios de mesmo comprimento e sopre entre elas. Observe e tente explicar o ocorrido.
Bola em Curva.

Fluidos Reais e Ideais

Uma bola se desloca no ar com velocidade (do centro de gravidade, em relação ao ar) de módulo v e, além disso, gira ao redor do centro de gravidade com uma velocidade linear (da superfície) de módulo vR [figura (a)]. Em um referencial fixo no centro de gravidade da bola [figura (b)], a linha de corrente que passa pelo ponto A tem uma velocidade cujo módulo vale vA = v + vR e a linha de corrente que passa pelo ponto B, uma velocidade cujo módulo vale vB = v – vR. Para estes pontos A e B, supostos a mesma altura, a equação de Bernoulli fornece:

PA + (Fluidos Reais e Ideais/2)vA2 = PB + (Fluidos Reais e Ideais/2)vB2

PB – PA = (Fluidos Reais e Ideais/2)[vA2 – vB2]

e como vA> vB temos PB – PA> 0 ou PB > PA. Assim, existe uma força resultante que empurra a bola no sentido de B para A.

Como o ar sustenta um avião?

Em relação ao avião, o ar situado ao redor das asas se move para trás. As asas apresentam uma certa curvatura na face inferior e uma curvatura maior na face superior. Assim, as moléculas de ar que passam por cima da asa o fazem com uma velocidade maior do que aquelas que passam por baixo, porque devem percorrer uma distância maior no mesmo intervalo de tempo. O caminho percorrido por cada partícula do ar é chamado linha de corrente. Na figura, aparecem duas linhas de corrente.

Fluidos Reais e Ideais

A velocidade de qualquer partícula pode variar tanto em módulo quanto em direção ao longo da linha de corrente. Um fluido está em regime estacionário quando todas as partículas que passam por determinado ponto do espaço têm a masma velodidade. Vamos supor que o ar tem um escoamento estacionário ao redor da asa do avião. Então, todas as partículas que passam pelo ponto C, por exemplo, o fazem com a mesma velocidade, indicada pela flecha correspondente. A flecha aponta a direção e o sentido da velocidade, cujo módulo é proporcional ao comprimento da flecha. Vamos supor ainda que o ar se comporta como um fluido incompressível.
Para um fluido incompressível em regime estacionário, vale a equação de Bernoulli, que expressa o princípio de conservação da energia ao longo de cada linha de corrente:

P + Fluidos Reais e Ideaisgy + ½ Fluidos Reais e Ideaisv2 = constante

onde P representa a pressão, Fluidos Reais e Ideais, a densidade e v, o módulo da velocidade do fluido, g, o módulo da aceleração gravitacional e y, a altura do ponto considerado no fluido em relação a um nivel de referência arbitrário.

Fluidos Reais e Ideais

Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos A e B temos:

PA + rgyA + ½ rvA2 = PB + rgyB + ½ rvB2
ou:
PA – PB = ½ r[ vB2 – vA2 ] + Fluidos Reais e Ideaisg[ yB – yA ]

Agora, como vB> vA e yB> yB, o lado direito da expressão acima é positivo. Assim, PA> PB, ou seja, a pressão na parte inferior da asa é maior do que a pressão na parte superior.

Fluidos Reais e Ideais

Isto significa que existe uma força resultante de baixo para cima, responsável pela sustentação do avião, cujo módulo é dado por F = A [ PA – PB ], onde A é a área da asa.

Fonte: www.ufsm.br

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