A partir da figura com a decomposição de forças existentes no pêndulo simples podemos ver que a força restauradora do sistema pêndulo simples é do tipo F(teta) = -mg sen(teta), que é diferente do tipo de força restauradora do nosso sistema massa-mola e que caracteriza um movimento harmônico simples F(X) = -kX, contudo para ângulos pequenos de teta, sen teta ~ teta, podendo nós fazermos a seguinte substituição para a força restauradora do pêndulo simples para ângulos pequenos, F(teta) = -mg sen (teta) ~ -mg(teta).
O que nos permitiria chegarmos a uma equação muito parecida com a que encontramos para o nosso sistema massa-mola:
F(teta) + mg*teta = 0
Onde teta também é teta = teta(t), conseguindo nós assim que:
F(teta(t)) + mg*teta(t) = 0
Que pelo o que comentamos anteriormente podemos reescrever como:
d2(teta(t))/dt + mg*teta(t) = 0
De onde dessa equação diferencial se é possível obter uma equação de movimento similar à equação de movimento do sistema massa-mola:
teta(t) = A cos (wt + ø)
Todas as demais considerações que foram feitas para o sistema massa-mola poderão ser generalizadas para o pêndulo simples agora, com a observação que a única representante de energia potencial a entrar no somatório de energias para dar Et é a energia potencial gravitacional (Epg), de maneira a conservar a energia total do sistema, com energia potencial gravitacional se convertendo em energia cinética e vice-versa, sendo que a nossa posição de equilíbrio é exatamente o ponto mais baixo do sistema.
De maneira análoga a que fizemos para encontrar a expressão de w para o sistema massa-mola podemos fazer para encontrar a expressão de w para o pêndulo simples; onde em vez de k e m, as grandezas físicas a serem consideradas serão as grandezas g e l.
Reescrevendo a equação de w agora com g e l ficamos que w = ((g/l)1/2), sobre a qual podemos fazer uma análise dimensional para verificar a sua coerência:
(([g]/[l])1/2) = (((m/(s2))/m)1/2) = ((1/(s2))1/2) = 1/s [w] = 1/s
o que confere com o esperado, podendo se reescrever a expressão w = ((g/l)1/2) como o período de oscilação T, onde T = 1/f = 1/(w/2*p) = 2*p/w = 2*p/((g/l)1/2) = 2*p*((l/g)1/2), tendo nós deduzido a expressão:
T = 2* p * ((l/g)1/2)
Esse resultado nós diz que o período de oscilação do pêndulo simples independe da abertura angular em que ele é solto, somente dependendo de parâmetros considerados fixos como o comprimento do fio do pêndulo ou haste e da gravidade local (no caso do sistema massa-mola os parâmetros a ser considerados como vimos é o fator de restauração k e o fator de inércia m). Dessa forma podemos concluir que não deverá haver variações no período do pêndulo podendo o mesmo ser utilizado como medidor do tempo.
Uma das primeiras pessoas que deve ter observado isso seria o cientista italiano Galileu Galilei. Este que é considerado por muitos como o Pai da Física, não só percebeu isso como fez alguns relógios de pêndulo como o que aparece mais embaixo.
Galileu Galilei. Cientista italiano, considerado por muitos como o Pai da Física.
Um dos relógios de pêndulo de Galileu
Fonte: www.fisica.ufpb.br
