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Leis de Kepler

 

Johannes Kepler (1571 - 1630)

Leis de Kepler

Alguns anos após a morte de Copérnico, o astrônomo dinamarquês, Tycho Brahe, começou a desenvolver um importante trabalho no sentido de obter medidas mais precisas das posições dos corpos celestes.

Os dados colhidos por Tycho Brahe, cuidadosamente tabelados, constituíram a base do trabalho que foi desenvolvido, após sua morte, por seu discípulo, o astrônomo alemão Johannes Kepler.

O trabalho de Kepler teve êxito, tendo descoberto as três leis do movimento dos planetas.

Primeira lei:

Um planeta se move descrevendo uma órbita elíptica tendo o Sol como um dos focos.

Segunda lei:

A linha que liga o Sol ao planeta varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.

Terceira lei:

É constante para todos os planetas a razão entre o tempo (T) que o planeta leva para dar uma volta completa em torno do Sol elevado ao quadrado e o raio médio (r) de sua órbita elevado ao cubo.

T2/r3 = constante. As leis de Kepler aplicam-se a quaisquer corpos que gravitem em órbita de uma grande massa central.

Por isso, elas são aplicáveis não apenas ao nosso Sistema Solar, como também a outros sistemas do Universo. Elas podem ser também ser aplicadas, por exemplo, para um satélite que gravite em órbita de um planeta qualquer.

Fonte: www.saladefisica.com.br

Leis de Kepler

Primeira Lei ou Lei das Órbitas

Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse descrita .

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Segunda Lei ou Lei das Áreas

O segmento imaginário que une o centro do Sol e o centro do planeta varre áreas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.

Leis de Kepler

O quadrado do período de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo do raio médio respectiva órbita.

Terceira Lei ou Lei dos Período

Sendo T o período do planeta, isto é, o intervalo de tempo para ele dar uma volta completa em torno do Sol, e r a medida do semi-eixo maior de sua órbita (denominado raio médio), a Terceira Lei de Kepler permite escrever:

T2 = K r3

A constante de proporcionalidade K só depende da massa do Sol.

Lei da Gravitação Universal

Analisando as leis de Kepler, Newton notou que as velocidades dos planetas variam ao longo da órbita em módulo e direção. Como a variação da velocidade é devida a forças, Newton concluiu que os planetas e o Sol interagem a distância, com forças chamadas gravitacionais. Uma tremenda capacidade de generalização e um conhecimento profundo de Matemática permitiram a Newton descobrir que as forças gravitacionais são funções do inverso do quadrado da distância e dependem da massa de cada um dos planetas.

Se M e m são as massas de dois pontos materiais e r é a distância que os separa, a intensidade da força gravitacional é dada por:

F = (Gm1m2) / d2

Onde:

F: força de atração

G: constante de gravitação universal

m1 e m2: massas dos corpos estudados

d: distância entre os corpos

Se em vez de pontos materiais tivermos esferas homogêneas, a distância r a ser considerada é entre seus centros.

A força gravitacional F é uma força de campo que atua a distância ao longo da reta que une os centros dos corpos.

Na expansão anterior G = 6,67 . 10-11 unidades do Sistema Internacional é uma constante chamada constante de gravitação universal.

Ela não depende do meio: seu valor é o mesmo no ar, vácuo ou qualquer outro meio interposto entre os corpos.

Como a constante G é muito pequena, a força F só tem intensidade apreciável se ao menos uma das massas for elevada, como a de um planeta. Para corpos pequenos (pessoas, objetos, veículos), a atração gravitacional F entre suas massas tem pequena intensidade e é desprezível.

Esta lei estabelece duas relações importantes:

Leis de Kepler

Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa.
Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e vice-versa.

Da figura vtemos que a força F1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F2 porque a distância que o planeta está do Sol na posição 1 é menor que a distância na posição 2.

Fonte: educar.sc.usp.br

Leis de Kepler

Leis de Kepler

- Descrevem os movimentos dos planetas de nosso sistema solar – Sol como referencial.

- As Leis também servem para qualquer corpo que gravite em torno de outro cuja massa seja bem maior:

- Satélites artificiais.

- Cargas elétricas.

2.1 Primeira Lei de Kepler – Lei das Órbitas

Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um dos focos da elipse descrita.

Elipse:

Pontos Leis de Kepler– Focos da elipse.
Definição – Uma curva onde a soma das distâncias Leis de Keplerdos focos a um ponto qualquer „P? da curva é constante.

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2.2 Segunda Lei de Kepler – Lei das Áreas

O segmento imaginário que une o centro do Sol e o centro do planeta

Leis de Kepler

k – Constante de proporcionalidade.

Velocidade areolar do planeta é a constante de proporcionalidade, que depende do planeta.

Os planetas não se movem ao redor do Sol com velocidade constante – Mais rápido perto do Sol.

Ponto mais próximo do Sol – Periélio (+ Veloz).

Ponto mais afastado do Sol – Afélio (– Veloz).

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2.3 Terceira lei de Kepler – Lei dos Períodos

O quadrado do período de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita.

Leis de Kepler

K – Constante de proporcionalidade – Depende da massa do Sol.
MS – Massa do Sol.

Quanto mais distante do Sol for órbita, maior será o período de translação desse planeta.
Raio médio da órbita – Média aritmética entre a distância do Sol ao afélio e a distância do Sol até o periélio.

Leis de Kepler

Leis de Kepler

Fonte: victaoml.files.wordpress.com

Leis de Kepler

Considerando um referencial fixo no Sol, por efeito da lei da gravitação universal, o movimento dos planetas ao redor do Sol acontece segundo as três leis de Kepler. Na verdade, as leis de Kepler não se aplicam apenas às órbitas dos planetas ao redor do Sol.

Elas valem de modo geral para qualquer corpo em órbita ao redor de outro corpo, num referencial em que este último está em repouso e quando a interação entre os corpos é gravitacional. Por exemplo, a Lua e os satélites artificiais têm órbitas que seguem as leis de Kepler num referencial fixo na Terra e as luas de Júpiter seguem as leis de Kepler num referencial em que Júpiter está em repouso.

Leis de Kepler

Elipses

Consideremos os pontos Leis de Kepler, distintos e fixos num plano (Fig.40(a)). Elipse é a curva desse plano para a qual a soma das distâncias de cada um de seus pontos aos pontos Leis de Kepleré constante (e maior do que a distância entre F1 e F2).

Assim, por definição, as distâncias Leis de Keplersão iguais. Isto indica um modo simples de desenhar uma elipse com dois percevejos e um laço de barbante (Fig.40(b)). Passando o laço de barbante pelos percevejos e mantendo-o sempre esticado com um lápis, o risco do lápis é uma elipse.

Os pontos Leis de Keplersão chamados focos e o ponto O, centro da elipse. O segmento AB é chamado eixo maior e os segmentos AO e OB, semi-eixos maiores. O segmento CD é chamado eixo menor e os segmentos CO e OD, semi-eixos menores.

Podemos considerar a elipse como uma circunferência achatada. Para indicar o maior ou menor achatamento, definimos a excentricidade:
Leis de Kepler

em que c é a distância Leis de Keplere a, a distância AO ou OB. Por definição, a > c.
Então, 0 < e < 1. Assim como podemos considerar a elipse como uma circunferência achatada, podemos pensar que a circunferência é um caso particular de elipse em que os focos coincidem. Assim, para a circunferência, c = 0 e a excentricidade é nula.

Primeira Lei de Kepler

A primeira lei de Kepler, chamada lei das órbitas elípticas, diz que, num referencial fixo no Sol, as órbitas dos planetas são elipses e o Sol ocupa um dos focos.

A tabela abaixo mostra as excentricidades das órbitas dos oito planetas do Sistema Solar.

Leis de Kepler

Essas excentricidades são muito pequenas, ou seja, as órbitas são quase circunferências. A órbita mais achatada é a do planeta Mercúrio. A Fig.41(a) mostra em escala esta órbita com os dois focos. Uma das órbitas menos achatadas é a da Terra. A Fig.41(b) mostra a órbita da Terra com os dois focos.

Leis de Kepler

As órbitas da Terra, de Vênus e de Netuno são praticamente circunferências. O mesmo se poderia dizer das órbitas de Júpiter, Saturno e Urano. As órbitas de Marte e de Mercúrio são um pouco achatadas.

Aqui, é interessante notar o seguinte:

Leis de Kepler

Assim, comparando a primeira com a terceira, podemos ver que o diâmetro do Sol é cerca de 33 vezes menor do que a menor distância Mercúrio-Sol. Na Fig.41(a), que representa a órbita de Mercúrio, o Sol deveria ser representado por um ponto com o mesmo diâmetro daquele usado para representar cada foco.

De modo análogo, comparando a segunda com a terceira, podemos ver que o diâmetro do Sol é cerca de 107 vezes menor do que a distância Terra-Sol. Na Fig.41(b), que representa a órbita da Terra, o Sol deveria ser representado por um ponto com a metade do diâmetro daquele usado para representar cada foco.

A órbita da Terra é praticamente uma circunferência. A diferença entre a distância de maior proximidade Terra-Sol e a distância de maior afastamento é muito pequena e não pode justificar a diferença no clima entre o inverno e o verão. Além do mais, quando é inverno num hemisfério terrestre, é verão no outro. Na verdade, essa diferença climática vem da inclinação do eixo de rotação da Terra ao redor de si própria em relação ao plano da órbita.

A interação gravitacional entre o Sol e cada planeta pode ser representada por forças inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre o planeta e o Sol. A primeira lei de Kepler é conseqüência desse fato.

Segunda Lei de Kepler

A segunda lei de Kepler, chamada lei das áreas, afirma que, num referencial fixo no Sol, a reta que une o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.

Leis de Kepler

As áreas Leis de Keplerna Fig.42 são iguais. A segunda lei de Kepler informa que são iguais os tempos levados pelo planeta para percorrer os correspondentes arcos BC, DE e FG. Portanto, o módulo da velocidade linear do planeta é tanto maior quanto mais perto do Sol ele se encontra.

De qualquer forma, como as órbitas são aproximadamente circunferências, a variação relativa do módulo da velocidade linear dos planetas é pequena.

A segunda lei de Kepler é conseqüência do princípio de conservação do momento angular.

Terceira Lei de Kepler

A terceira lei de Kepler, chamada lei harmônica, afirma que, num referencial fixo no Sol, o quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da elipse que representa a órbita do planeta.

Matematicamente:

Leis de Kepler

em que k tem, aproximadamente, o mesmo valor para todos os planetas.

Podemos obter essa relação considerando um modelo em que as órbitas planetárias são circunferências, ou seja, considerando o movimento de cada planeta ao redor do Sol como um movimento circular uniforme num referencial em que o Sol está em repouso. Nesse caso, a força gravitacional do Sol sobre o planeta é a força centrípeta do MCU correspondente e podemos escrever:

Leis de Kepler

em que m é a massa do planeta, M é a massa do Sol, v é o módulo da velocidade linear do planeta e R é o raio da órbita. No modelo que estamos considerando, o raio e o semi-eixo maior da órbita são idênticos. Se o planeta leva um tempo T para dar uma volta completa ao redor do Sol, temos:

Leis de Kepler

e substituindo v desta expressão naquela de cima e simplificando, obtemos:

Leis de Kepler

Esta é a expressão matemática da terceira lei de Kepler desde que:

Leis de Kepler

Aqui, podemos ver porque k tem, aproximadamente, o mesmo valor para todos os planetas. Aproximadamente, porque as órbitas planetárias são, aproximadamente, circunferências e o mesmo valor para todos os planetas porque k só depende da constante universal G e da massa do Sol. Um cálculo mais próximo da realidade indicaria que k depende também da massa do planeta.

Exercício 1

Considere as órbitas de Marte e da Terra como circunferências num referencial fixo no Sol. Sabendo, então, que o raio da órbita de Marte é cerca de 1,5 vezes o raio da órbita da Terra, calcule a duração do ano marciano

Fonte: coral.ufsm.br

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