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Lentes

 

O que será que uma máquina fotográfica tem em comum com um microscópio, um projetor de filmes de cinema, um óculos, um binóculos, uma luneta, um retroprojetor etc... ???

É claro que você já deve ter sacado a resposta. Todos eles funcionam por causa das lentes que possuem, e o assunto deste capítulo é exatamente este. Vamos entender um pouco como elas funcionam.

Imagine se não existisse nada que fosse capaz de aumentar ou diminuir o tamanho das imagens dos objetos. A fotografia de uma pessoa, por exemplo, teria o mesmo tamanho da pessoa. Imagine o tamanho da máquina fotográfica necessária para isso !!! Por outro lado, não poderíamos enxergar coisas muito pequenas através do microscópio, pois este não iria nos fornecer uma imagem maior do objeto observado. O microscópio neste caso não serviria para muita coisa.

Mas elas existem, felizmente, e por causa disso podemos ir ao cinema, tirar fotografias, assistir televisão, enxergar melhor (para quem usa óculos), observar coisas pequenas através dos microscópios, ver a lua de pertinho (com uma luneta) etc...

Vamos então observar alguns tipos de lentes usadas por ai. Inicialmente iremos dividi-las em duas partes: lentes de bordas finas e lentes de bordas grossas

Lentes

Mas, todas estas lentes podem ser na verdade convergentes ou divergentes, dependendo do que acontece com a luz quando esta passa por ela.

Como representar uma lente convergente e uma lente divergente.

Lentes

As lentes ditas convergentes concentram os raios de luz, enquanto as lentes divergentes espalham estes raios de luz. Você verá nas animações abaixo como isso acontece.

Lentes
Os raios de luz chegam formando um ângulo de 90º com a lente. Como a lente é do tipo convergente, ela irá concentrá-los em um ponto, que iremos chamar de foco imagem. Note que aqui os raios de luz atravessam a lente e convergem para o foco imagem.

 

Lentes
Neste caso, os raios também chegam formando um ângulo de 90º com a lente, mas como ela é divergente, irá espalhá-los. Mas repare que se você prolongar para trás os raios que atravessaram a lente, eles irão se cruzam em um ponto, que será chamado de foco imagem.

Vamos ver agora como fica a nomenclatura usada para as lentes:

Lentes

  • Fi - foco imagem 
    A- ponto antiprincipal imagem
  • Fo - foco objeto
  • Ao - ponto antiprincipal objeto
  • O - centro óptico da lente
  • Obs: Nós vamos considerar aqui que os raios de luz sempre virão do lado esquerdo das lentes. Com isso a nomenclatura acima sempre terá esta aparência. Note que Fi não fica no mesmo lugar para a lente convergente e para a divergente.

    Construção de imagens

    Três coisas são importantes aqui, e é exatamente com estas três coisas que iremos trabalhar. São elas: objetos, lentes e imagens. Você já viu que as lentes podem fazer com que as imagens tenham algumas características diferentes dos objetos que a geraram.

    Para que você consiga descobrir quais são as características de uma imagem gerada por uma lente, terá que conhecer o comportamento de alguns raios de luz. Chamaremos estes raios de luz de raios principais. Veremos três raios principais para cada lente (convergente ou divergente).

    Raios principais para lentes convergentes

    Lentes
    Um raio de luz que se propaga paralelamente ao eixo principal da lente, sofre refração passando pelo foco imagem.

    Lentes
    Um raio de luz que se propaga passando pelo foco objeto da lente, sofre refração saindo paralelamente ao eixo principal da lente

    Lentes
    Um raio de luz que incide na lente sobre o seu centro óptico, irá refratar sem sofrer desvio algum.

    Raios principais para lentes divergentes

    Lentes
    Um raio de luz que se propaga paralelamente ao eixo principal da lente sofre refração, e o prolongamento do raio refratado vai passar sempre pelo foco imagem.

    Lentes
    Um raio de luz que se propaga de tal forma que o seu prolongamento passe pelo Fo, irá refratar paralelamente ao eixo principal da lente.

    Lentes
    Um raio de luz que incide na lente sobre o seu centro óptico, irá refratar sem sofrer desvio algum.

    Veja então como fica cada uma das construções possíveis.

    Lentes

    Características da imagem

  • natureza : real
  • orientação : invertida
  • tamanho : menor
  • Lentes

    Características da imagem

  • natureza : real
  • orientação : invertida
  • tamanho : igual
  • Lentes

    Características da imagem

  • natureza : real
  • orientação : invertida
  • tamanho : maior
  • Até aqui você pode perceber que quanto mais aproximamos o objeto da lente mais sua imagem aumentará de tamanho. E que nestes três casos ela será invertida e real. A vantagem de uma imagem real é que ela pode ser projetada em um anteparo (uma tela, parede etc...)

    Lentes

    Características da imagem

  • natureza : imprópria
  • orientação : indeterminada
  • tamanho : indeterminada
  • Neste exemplo você pode perceber que não há formação de imagem. Quando o objeto é colocado sobre o foco é isso o que acontece. Dizemos que a imagem está localizada no infinito, lugar imaginário onde duas retas paralelas se encontram.

    Lentes

    Características da imagem

  • natureza : virtual
  • orientação : direita
  • tamanho : maior
  • Este é o único caso onde uma lente convergente gera uma imagem virtual e direita. A desvantagem de uma imagem virtual é que ela não pode ser projetada em um anteparo.

    Lentes

    Este é o único caso para lentes divergentes. Imagens formadas por este tipo de lente sempre são virtuais, direitas e menores que o objeto.

    Fonte: br.geocities.com

    Lentes

    Dentre os componentes de sistemas ópticos mais úteis, devemos citar as lentes. Se você tiver oportunidade de olhar detalhadamente a estrutura de uma máquina fotográfica moderna ou uma lente zoom ou ainda um telescópio, você entenderá rapidamente a relevância das lentes esféricas. Estes instrumentos úteis são construídos utilizando lentes esféricas. Os óculos são constituídos de duas lentes esféricas.

    Na figura abaixo temos um esquema de uma lente zoom de uma máquina fotográfica moderna. Nesse caso ela é composta de três lentes.

    A utilidade de uma lente é que com elas podemos aumentar (ou reduzir) o tamanho de um objeto. E esse aumento pode chegar a milhares de vezes. Esse é o caso dos microscópios e telescópios.

    Nesse capítulo vamos entender como funcionam as lentes esféricas. As lentes de uso mais amplo são aquelas constituídas de vidro ou de acrílico (óculos, por exemplo)

    Denominamos de lentes esféricas a um arranjo no qual estão dispostos dois dioptros. Um dos dioptros deve ser um dioptro esférico e o outro poderá ser outro dioptro esférico ou um dioptro plano. A lente esférica e o objeto transparente limitado pelas superfícies Lentes dos dois dioptros. Denominaremos de Lentes o índice de refração do meio no qual a lente está imerso (em geral o ar) e de Lentes o índice de refração do meio do qual a lente é constituída

    Centro de curvatura e raio de curvatura

    Para o que segue adotaremos ainda as seguintes definições.

    Cada fase é constituída de uma superfície esférica de raio R. Temos, portanto, numa lente esférica, em geral, dois raios de curvatura Lentes Consequentemente, teremos também dois centros de curvatura Lentes

    Lentes

    O eixo passando por Lentes o eixo principal. Ele cruza a primeira face no ponto Lentes um vértice da lente) e a segunda face no pontoLentes(o segundo vértice da lente). A distância entre Lentes será adotada como a espessura (e) da lente.

    Finalmente, vamos introduzir a nomenclatura comumente utilizada ao nos referirmos s lentes esféricas. Podemos ter seis tipos de lentes esféricas (formada por dioptros esféricos ou esférico e plano). Se olharmos para o perfil dessas lentes, veremos que três delas têm bordas finas e três delas têm bordas espessas.

    Lentes

    Os nomes das lentes são, usualmente, associados às faces. Existem duas faces a nomear. Se a primeira fase for plana, o nome plano vem em primeiro lugar (plano-côncavo e plano-convexo). Se as faces tiverem nomes iguais fazemos uso do prefixo bi (bicôncava, biconvexa). Nos demais casos citamos a face que tiver o maior raio de curvatura em primeiro lugar e em seguida a de menor curvatura. Temos assim, de acordo com essa convenção os nomes das diversas lentes esféricas na figura acima.

    Denominamos de lente delgada a uma lente tal que sua espessura seja muito menor do que os raios da curvatura de qualquer uma das faces (espessura desprezível).

    Imagem num dioptro esférico

    Para procedermos ao estudo analítico do processo de formação de imagem numa lente, vamos estudar a imagem de um objeto puntiforme diante de um dioptro esférico. Os dois meios transparentes serão assumidos possuindo índices de refraçãoLentes separados por uma superfície esférica de raio R. O objeto está no ponto O e a imagem se formará no ponto I o qual se encontra no eixo passando pelo centro de curvatura C e o objeto O. As coordenadas da imagem I e do objeto são Lentes

    Lentes

    Consideremos primeiramente um raio incidente proveniente de O formando um ângulo com a horizontal eLentes com a normal à superfície. Este raio é refratado formando um ângulo com a normal e um ângulo Lentes com a normal e um ângulo Lentes com a horizontal. O conjunto de raios refratados formará a imagem em I do objeto.

    Admitiremos que todos os ângulos são pequenos e que, portanto, as seguintes aproximações são válidas:

    Lentes
    De acordo com a Lei de Snell teremos

    Lentes

    Admitindo que os ângulos são pequenos, teremos uma relação simples entre os ângulos Lentes

    Lentes

    Lembramos agora que num triângulo qualquer um ângulo exterior é igual à soma dos ângulos interiores opostas à ele. Se aplicarmos esse resultado para os triângulos OPC e IPC podemos afirmar que valem as relações

    Lentes

    Usando a Lei de Snell para ângulos pequenos e substituindo Lentes por esses valores temos

    Lentes

    Utilizando a seguir as aproximações mostradas acima para Lentes teremos

    Lentes

    Vemos, assim, que essa equação tem uma certa semelhança com a equação para os espelhos. A convenção dos sinais das coordenadas é a seguinte:

  • p é positivo se o objeto estiver na frente da superfície (objeto real)
  • p é negativo se o objeto estiver atrás da superfície (objeto virtual)
  • Lentesé positivo se a imagem estiver atrás da superfície (imagem virtual)
  • Lentesé negativo se a imagem estiver na frente da superfície (imagem real)
  • R é positivo se o centro de curvatura estiver atrás da superfície
  • R é negativo se o centro de curvatura estiver na frente da superfície.
  • Estudo analítico - aumento linear

    Para o estudo analítico da localização da imagem e o aumento linear faremos uso de um referencial de Gauss para as lentes. A diferença no caso dos espelhos consiste no fato de adotarmos para a coordenada x (o eixo das abcissas) uma orientação para o objeto e uma outra orientação (oposta a essa) para a imagem.

    Lentes

    Essas orientações podem ser resumidas pelo diagrama abaixo:

    Lembrando agora que:

    Lentes

    Lentes

    Consideremos agora um objeto disposto frontalmente a uma lente delgada. As dimensões do objeto na direção horizontal serão assumidas desprezíveis. As coordenadas do objeto são as coordenadas (Lentes ) associado ao seu extremo (o) e à sua localização no eixo das abcissas (p). Aquelas associadas à imagem são (Lentes)i (para o extremo) e Lentes para a abcissa. Analisando na figura abaixo os triângulos semelhantesLentes temos

    Lentes

    Como

    Lentes

    tem-se da semelhança de triângulos que

    Lentes

    Portanto, o aumento linear A é tal que

    Lentes

    Estudo analítico - equação dos fabricantes de lentes

    A idéia básica ao lidarmos com as lentes, e que nos permite determinar a localização da imagem, é que a imagem formada pelo primeiro dioptro se torna o objeto para o segundo dioptro.

    Vamos considerar um objeto O diante de uma lente de acordo com a figura abaixo. A imagemLentes conjugada pelo primeiro dioptro (de raio Lentes ) tem abcissa Lentes de tal forma que utilizando a equação anteriormente obtida para um dioptro esférico

    Lentes

    Lentes

    A imagemLentesé o objeto (virtual nesse caso) para o dioptro de superfície Lentes com raio Lentes Para essa superfície temos (lembrando que o objeto é agora virtual para a superfície Lentes e que Lentes é negativo)

    Lentes

    Somando agora as duas últimas equações obtemos

    Lentes

    Dividindo a equação anterior por n1 obtém-se

    Lentes

    Esta equação é conhecida como equação dos fabricantes de lentes. Ela se torna inteiramente análoga à equação dos espelhos esféricos se definirmos a distância focal f através da relação

    Lentes

    A equação acima é conhecida também por equação dos fabricantes de lentes. Utilizando essa equação teremos, com essa definição, a equação

    Lentes

    que é uma equação análoga aos espelhos esféricos.

    No caso em que uma das superfícies for plana, a equação se aplica igualmente, ela é até mais simples nesse caso, pois, basta tomarmos o raio de uma delas tendendo ao infinito. Por exemplo, se o primeiro dioptro for plano e o segundo for esférico de raio R a equação dos fabricantes se torna

    Lentes

    A relevância da distância focal de uma lente pode ser analisada quando consideramos raios incidentes paralelamente ao eixo principal de uma lente. Nesse caso as lentes se dividem em duas categorias. Nas lentes convergentes os raios convergem para um ponto (o foco da lente). Este é o significado físico da distância focal. Ela nos dá a que distância da lente haverá a convergência dos raios paralelos. As lentes de borda fina são convergentes.

    Lentes

    Se a lente for divergente então os raios refratados não convergem para um ponto. No entanto, o prolongamento desses raios converge num ponto - o foco. As lentes de borda espessa são divergentes.

    Lentes

    Tomemos, para ilustrar esse ponto, o ponto p tendendo para infinito (os raios vão agora se tornando paralelos). Para um objeto no infinitoLentes a imagem acontece no ponto

    Lentes

    ou seja, a imagem está no foco.

    Lentes convergentes têm a distância focal positiva e lentes divergentes têm a distância focal negativa.

    Método gráfico para as lentes delgadas

    O método gráfico é muito útil para determinarmos as características da imagem (real, virtual, invertida ou não, maior ou menor).

    Para a utilização do método gráfico basta que consideremos dois dentre três dos seguintes raios que se originam do objeto.

    Raio 1 - raio incidente passando pelo centro da lente. Nesse caso, ele prossegue sem se desviar.

    Raio 2 - raio incidente paralelamente ao eixo principal da lente. Nesse caso, o raio será refratado passando pelo foco (ou seu prolongamento, no caso das lentes divergentes).

    Raio 3 - raio incidente passando por um dos focos será refratado saindo paralelamente ao eixo principal.

    Vergência de uma lente

    Define-se a vergência (C) de uma lente como o inverso da distância focal. Isto é,

    Lentes

    Para lentes convergentes C>0 , enquanto que para lentes divergentes C<0

    Utiliza-se para unidade de vergência a dioptria (di). Uma dioptria é a unidade associada à distância focal de um metro. Portanto,

    Lentes

    Fonte: efisica.if.usp.br

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