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Ondas Mecânicas Harmônicas

Consideremos um certo sistema físico e uma propriedade deste sistema, como, por exemplo, uma corda e o deslocamento transversal de cada um de seus pontos ou uma certa quantidade de ar e sua pressão, etc. Uma mudança na propriedade em questão em uma certa parte do sistema pode se propagar para outras partes na forma de uma onda mecânica progressiva (ou viajante). As ondas mecânicas progressivas num meio elástico estão relacionadas à transmissão de energia e não de matéria de um ponto a outro desse meio. Em oposição às ondas progressivas, existem as ondas estacionárias, que não transportam energia.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Onda Humana

Um fenômeno interessante de observar nos estádios de futebol é o seguinte: os espectadores de uma coluna se colocam de pé e sentam, sem sair do lugar, quando percebem que os espectadores da coluna adjacente o fez. O efeito coletivo é um pulso que se propaga pelos espectadores do estádio. Quando o pulso se propaga para a direita, por exemplo, os espectadores de uma coluna fazem o movimento um pouco depois que os espectadores da coluna adjacente à esquerda e dizemos que existe uma diferença de fase entre os movimentos das colunas.

Os espectadores de cada coluna apenas se põem de pé e sentam, não se deslocando lateralmente. Eles não vão junto com o pulso e são, por assim dizer, o meio através do qual o pulso se propaga. Se os espectadores se colocam de pé e sentam continuamente, um trem de ondas se propaga pelos espectadores do estádio.

Ondas do Mar

Ondas Mecânicas Harmônicas

Para discutir um pouco mais o fato de que a onda não transporta matéria consideremos uma onda do mar. Podemos ver que a água não vai junto com a onda observando uma bola flutuando sobre a água. A bola descreve uma circunferência (ou uma elipse) para cada intervalo de tempo que leva a onda para se propagar uma distância equivalente à distância entre duas cristas. A bola não abandona a pequena região onde se encontra.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Longe da praia, cada partícula de água se move numa trajetória circular ou elíptica num plano vertical. O movimento de cada partícula pode ser considerado como a superposição de dois movimentos harmônicos simples de mesma freqüência, um na horizontal e outro na vertical. As oscilações das partículas não estão confinadas apenas à superfície, estendendo-se para o fundo com amplitude decrescente.

As forças restauradoras resultam principalmente das diferenças de pressão originadas pelas variações de profundidade de ponto a ponto. O papel das forças de tensão superficial é secundário mas, à medida que a escala do fenômeno diminui, fica cada vez mais importante. O sentido de propagação da onda depende do sentido em que as porções de água descrevem suas trajetórias circulares. A onda se propaga no mesmo sentido que a água na crista da onda.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Quanto maior o comprimento de onda de uma onda na superfície da água, maior a velocidade com que se desloca. Pequenas ondulações se deslocam com pequenas velocidades enquanto que grandes ondas oceânicas se deslocam com grandes velocidades. Ondas gigantes, produzidas por terremotos e/ou erupções vulcânicas, chamadas tsunamis, têm comprimentos de onda muito grandes e viajam a velocidades que podem chegar a centenas de quilômetros por hora. E como movimentam grandes quantidades de água muito profundamente no oceano, os tsunamis levam enormes quantidades de energia.

Ao se aproximar da praia, a forma da onda do mar se modifica. As porções de água deixam de se mover em trajetórias circulares porque sua velocidade nas proximidades do fundo do mar é cada vez menor devido ao atrito com o leito do mar. Com isso, as porções no fundo vão se atrasando em relação às porções mais altas e quando o atraso é tal que as porções superiores não encontram mais sustentação nas inferiores, elas desabam e a onda se quebra.

A água não se move junto com a onda do mar, mas um surfista, com sua prancha, se move para frente junto com a onda porque desliza sobre a superfície inclinada da água como se fosse sobre a encosta de uma montanha. E enquanto a onda não se quebra, a superfície da água se levanta atrás dele, e ele, sem alcançar o ventre da onda, desliza para frente.

Ondas Mecânicas Unidimensionais

Ondas Mecânicas Harmônicas

Onda mecânica é um distúrbio que se propaga através de um meio elástico. Não existe transporte de matéria e sim, de energia, pela onda. Se cada ponto do meio elástico executa um movimento harmônico simples, a onda é dita harmônica.

Ondas Transversais

Se os pontos do meio pelo qual passa uma onda oscilam numa direção perpendicular à direção de propagação da onda, esta é chamada de onda transversal.

O movimento de um ponto qualquer tem sempre uma diferença de fase negativa em relação ao movimento do ponto adjacente a sua direita e é justamente isso que torna o movimento coletivo uma onda transversal que se propaga para a direita. Se a diferença de fase fosse positiva, a onda se propagaria na direção oposta. A onda gerada numa corda horizontal pelo movimento para cima e para baixo da mão que segura uma de suas extremidades é um exemplo de onda transversal. Outro exemplo de onda transversal, só que não mecânica, é a onda eletromagnética, na qual os campos elétrico e magnético oscilam perpendicularmente um ao outro e à direção de propagação da onda.

Polarização de uma Onda Transversal

A direção do movimento das partículas do meio quando por ele passa uma onda transversal é perpendicular à direção de propagação da onda. Mas existem infinitas direções que são perpendiculares à direção de propagação da onda. Caso as partículas do meio se movimentem sempre na mesma direção, ou seja, caso a onda permaneça sempre no mesmo plano, dizemos que ela é linearmente polarizada. Qualquer onda transversal pode ser considerada como combinação de duas ondas linearmente polarizadas em direções perpendiculares. Se os deslocamentos das partículas do meio têm todos o mesmo módulo, mas direções diferentes, de modo que a onda tenha forma helicoidal, dizemos que a onda é polarizada circularmente. Nesse caso, cada partícula do meio descreve uma circunferência em torno da reta que passa pelos pontos de equilíbrio das partículas do meio.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Ondas Longitudinais

Ondas Mecânicas Harmônicas

Se os pontos do meio pelo qual passa uma onda oscilam numa direção paralela à direção de propagação da onda, esta é chamada de onda longitudinal. O movimento de qualquer ponto tem sempre uma diferença de fase negativa em relação ao movimento do ponto adjacente a sua direita e é justamente isso que torna o movimento coletivo uma onda longitudinal que se propaga para a direita. A onda gerada numa mola, golpeando ritmicamente uma de suas extremidades na direção do seu eixo, é uma onda longitudinal. Uma onda sonora no ar, gerada pelo movimento de vai e vem da membrana de um alto-falante, e uma onda sonora em um sólido qualquer, gerada golpeando-se ritmicamente qualquer região do mesmo, são outros exemplos de ondas mecânicas longitudinais.

As ondas do mar são, ao mesmo tempo, transversais e longitudinais. Cada partícula da água descreve um movimento circular ou elíptico que pode ser considerado como a superposição de dois movimentos harmônicos simples de mesma freqüência, um na horizontal e outro na vertical. A onda pode, assim, ser considerada como a superposição de duas ondas, uma longitudinal e outra transversal, com uma diferença de fase de p/2 rad, com amplitudes diferentes.

Elementos de uma Onda

O período de oscilação (T) do movimento harmônico simples de um ponto qualquer do meio, ou seja, o intervalo de tempo que ele leva para realizar exatamente uma oscilação, é igual ao período da onda. A distância percorrida pela onda durante um dos seus períodos, ou seja, a distância entre duas cristas sucessivas, é o que se chama de comprimento de onda (l). Assim, a velocidade de propagação da onda pode ser escrita:

v = Ondas Mecânicas Harmônicas / T

A freqüência do movimento harmônico simples de cada ponto do meio pelo qual se propaga a onda é, também, a freqüência da onda (f), ou seja, o número de comprimentos de onda contidos dentro da distância percorrida pela onda na unidade de tempo. Assim:

f = Ondas Mecânicas Harmônicas / 2Ondas Mecânicas Harmônicas = 1 / T

e definindo o número de onda (k) pela expressão k = 2p/l, vem:

v = Ondas Mecânicas Harmônicasf = w / k

A velocidade de propagação de uma onda é constante em um dado meio e é determinada apenas pelas propriedades físicas e pelo estado desse meio. Portanto, ondas mecânicas com freqüências ou comprimentos de onda diferentes se propagam, no mesmo meio, com velocidades iguais. Como v = Ondas Mecânicas Harmônicasf, uma onda com uma dada freqüência só pode ter um único comprimento de onda. Se a freqüência é grande, o comprimento de onda é pequeno e vice-versa. Isso possibilita caracterizar as ondas mecânicas em um meio tanto pela freqüência quanto pelo comprimento de onda. Por outro lado, a freqüência é característica da fonte emissora da onda. Assim, ao passar de um meio para outro, a freqüência de uma onda não muda. Como f = v/Ondas Mecânicas Harmônicas e como a velocidade de propagação da onda muda quando essa passa de um meio para outro, já que é função das propriedades físicas e do estado do meio, muda também o comprimento de onda. Isso faz com que se possa caracterizar apenas pela freqüência uma onda que muda de meio.

Transferência de Energia pela Onda

A energia total de um oscilador harmônico não amortecido é constante, de modo que a energia potencial diminui enquanto que a energia cinética aumenta e vice-versa. Numa onda progressiva as coisas acontecem de modo diverso. A propagação de uma onda progressiva está associada à transmissão de energia de um ponto oscilante do meio a outro e essa transmissão acontece porque os pontos que estão passando pela posição de equilíbrio têm tanto energia potencial quanto energia cinética máximas. Vamos discutir isso tomando como exemplo o caso de uma onda que se propaga em uma corda.

Ondas Mecânicas Harmônicas

A linha tracejada representa a posição dos pontos da corda em repouso e, também, as respectivas posições de equilíbrio. Os pontos mostrados indicam convencionalmente as posições relativas das partículas da corda quando passa a onda. Os pontos A e E estão momentaneamente parados e em sua vizinhança a corda não está deformada, isto é, os pontos da corda na vizinhança guardam as mesmas posições relativas que tinham antes de aparecer a onda. Para esses pontos, a energia cinética e a energia potencial associada à deformação elástica da corda são, ambas, nulas. Por outro lado, os pontos C e F, que estão passando pela posição de equilíbrio, têm velocidades máximas (indicadas pelas flechas) e em sua vizinhança a deformação (alongamento ou cisalhamento) é máxima. Para esses pontos, a energia cinética e a energia potencial são, ambas, máximas. Mas, como os pontos C e F se movem, no instante seguinte são os pontos a sua direita que ocuparão posições sobre a linha tracejada, pontos esses que terão recebido energia para ter, agora, energias cinética e potencial máximas. O processo se repete com esses novos pontos e assim por diante. Portanto, a transmissão de energia na onda progressiva acontece com a mesma velocidade com que se propaga a fase das oscilações dos pontos do meio.

Observação

Quando uma onda se propaga em uma corda, esta sofre uma deformação por cisalhamento, e, em conseqüência, uma mudança de forma. As ondas transversais só podem se propagar em um meio se a mudança de forma desse meio vem acompanhada do aparecimento de forças restauradoras. Esse tipo de propriedade é própria apenas dos corpos sólidos e da superfície dos líquidos, de modo que só aí podem aparecer ondas transversais (mecânicas).

Equação da Onda

Para estabelecer a equação da onda vamos tomar uma onda transversal que se propaga na direção do eixo X e no mesmo sentido desse eixo, com velocidade de módulo v. O padrão espacial da onda se desloca no espaço com o passar do tempo. Na figura, representamos a onda no instante de tempo considerado como inicial e num instante posterior genérico. Como estamos estudando ondas harmônicas, em qualquer instante de tempo, o padrão espacial da onda é dado por uma função harmônica (seno ou cosseno). Assim, para t = 0:

y(x, 0) = A sen kx

onde A representa a amplitude da onda e k, o número de onda. No argumento da função seno aparece a variável x multiplicada pelo número de onda k pela própria definição do seno como função trigonométrica periódica (com período 2Ondas Mecânicas Harmônicas) e da onda como fenômeno periódico no espaço (com período Ondas Mecânicas Harmônicas, o comprimento de onda). Por isso devemos ter y (x + Ondas Mecânicas Harmônicas, 0) = y (x, 0) que, pela expressão acima, fica sen (kx + kl) = sen kx. Essa expressão é uma identidade trigonométrica porque kl = 2p.
Agora, tomando os pontos x' e x tal que x - x' = vt, ou seja, tal que x - x' representa a distância percorrida pela onda durante o intervalo de tempo t, temos:

y(x,t) = y(x',0)

ou:

y(x,t) = y(x - vt,0)

e usando a expressão acima para y(x,0) com v = Ondas Mecânicas Harmônicas/k vem:

y(x,t) = A sen (kx - wt)

Nesta equação está implícita a condição y(0,0) = 0, o que não é necessário para uma onda arbitrária. A equação geral da onda que se propaga sobre o eixo X no mesmo sentido que aquele considerado positivo para esse eixo é:

y(x,t) = A sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast + Ondas Mecânicas Harmônicas)

onde d é chamada fase inicial. Substituindo v por - v na demonstração acima obtemos a equação da onda que se propaga em sentido contrário àquele considerado positivo para o eixo X:

y(x,t) = A sen (kx + Ondas Mecânicas Harmônicast + Ondas Mecânicas Harmônicas)

Observação

Tomando Ondas Mecânicas Harmônicas = 0 e x = Ondas Mecânicas Harmônicas/k na primeira equação geral da onda obtemos y (Ondas Mecânicas Harmônicas/k,t) = A sen (Ondas Mecânicas Harmônicas - Ondas Mecânicas Harmônicast), e levando em conta que sen (Ondas Mecânicas Harmônicas - Ondas Mecânicas Harmônicas) = sen Ondas Mecânicas Harmônicas, temos que y(Ondas Mecânicas Harmônicas/k,t) = A sen Ondas Mecânicas Harmônicast. Esta é a equação de movimento de uma partícula em movimento harmônico simples com elongação nula em t = 0. Assim, a partícula do meio pelo qual passa a onda, na posição x = Ondas Mecânicas Harmônicas/k, é um oscilador harmônico. O mesmo cálculo pode ser feito para outra posição qualquer, levando a conclusão de que a partícula correspondente tem, também ela, um movimento harmônico simples, mas com uma diferença de fase em relação ao movimento harmônico simples da primeira partícula. Isso era de se esperar já que estamos considerando ondas harmônicas.
Embora a discussão acima tenha sido baseada nas ondas transversais por questões didáticas, as fórmulas obtidas valem também para as ondas longitudinais.

Princípio de Superposição

Ondas Mecânicas HarmônicasDuas ou mais ondas podem se cruzar na mesma região do espaço, movendo-se independentemente. Então, o deslocamento de qualquer partícula do meio em um dado instante é a soma vetorial dos deslocamentos que seriam produzidos pelas ondas individualmente. Esse constitui o princípio de superposição e vale para ondas em meios elásticos se as forças de restauração são proporcionais às deformações. Inversamente, qualquer movimento ondulatório pode ser analisado como combinação de movimentos ondulatórios simples (harmônicos, por exemplo). Os efeitos físicos associados à superposição de duas ou mais ondas são chamados de interferência. Como exemplo, consideremos duas ondas de mesma direção e sentido, com freqüências, amplitudes e velocidades iguais, uma atrasada em relação à outra:

y1(x,t) = A sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast - Ondas Mecânicas Harmônicas)

e

y2(x,t) = A sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast)

Em um instante de tempo qualquer (t fixo), y1 e y2 representam duas ondas separadas por uma distância Ondas Mecânicas Harmônicas/k sobre o eixo X (figura (a)). Numa dada posição (x fixo), y1 e y2 representam dois movimentos harmônicos simples defasados por um intervalo de tempo Ondas Mecânicas Harmônicas/w. A onda resultante da superposição de y1 e y2é dada por:

y1(x,t) + y2(x,t) = A [sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast - Ondas Mecânicas Harmônicas) + sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast)]

e pela fórmula trigonométrica:

sen A + sen B = 2 sen[ ½ (A + B)] cos [½ (A - B)]

temos:

y1(x,t) + y2 (x,t) = [2A cos Ondas Mecânicas Harmônicas/2] sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast - d/2)

A onda resultante tem a mesma freqüência angular w que y1 e y2. Mas a amplitude, agora, é dada pelo fator 2A cos Ondas Mecânicas Harmônicas/2. Para d = 0 temos y1 = y2, a amplitude da onda resultante vale 2A (figura (b)) e dizemos que existe interferência construtiva entre y1 e y2 (condição de máximo). Para Ondas Mecânicas Harmônicas = Ondas Mecânicas Harmônicas temos y1 = - y2, a amplitude da onda resultante vale zero (figura (c)) e dizemos que existe interferência destrutiva entre y1 e y2 (condição de mínimo).
De modo geral, pode haver interferência entre ondas com quaisquer freqüências e/ou amplitudes e com qualquer diferença de fase.

Velocidade de Fase e Velocidade de Grupo

A velocidade de propagação v = Ondas Mecânicas Harmônicas/k, de uma onda harmônica de comprimento de onda Ondas Mecânicas Harmônicas = 2Ondas Mecânicas Harmônicas/k e freqüência f = Ondas Mecânicas Harmônicas/2, é chamada velocidade de fase. Para discutir o que se entende por velocidade de grupo consideremos o exemplo da onda constituída pela superposição de duas ondas harmônicas de mesma amplitude A, mas de freqüências angulares Ondas Mecânicas Harmônicas' e Ondas Mecânicas Harmônicas quase iguais:

y (x,t) = A sen (k'x - Ondas Mecânicas Harmônicas' t) + A sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast)

que, pela fórmula trigonométrica:

sen A + sen B = 2 sen[ ½ (A + B)] cos [½ (A - B)]
fica:

y (x,t) = 2A cos ½ [(k' - k) x - (Ondas Mecânicas Harmônicas' - Ondas Mecânicas Harmônicas) t] sen ½ [(k' + k) x - (Ondas Mecânicas Harmônicas' + Ondas Mecânicas Harmônicas) t]

Como Ondas Mecânicas Harmônicas' e Ondas Mecânicas Harmônicas são quase iguais, podemos tomar Ondas Mecânicas Harmônicas' + Ondas Mecânicas Harmônicas = 2Ondas Mecânicas Harmônicas e k' + k = 2k e daí:

y (x,t) = 2A cos ½ [(k' - k) x - (Ondas Mecânicas Harmônicas' - Ondas Mecânicas Harmônicas) t] sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast]

Esta expressão representa um movimento ondulatório dado por sen (kx - wt) (figura (a), linha contínua, vermelha) com amplitude modulada 2A cos ½ [(k' - k) x - (w' - w) t] (figura (a), linha tracejada, azul). O movimento ondulatório descrito por y(x,t) é como uma seqüência de pulsos.
A amplitude modulada corresponde a um movimento ondulatório que se propaga com a assim chamada velocidade de grupo:

vG = (Ondas Mecânicas Harmônicas' - Ondas Mecânicas Harmônicas) / (k' - k)

Ondas Mecânicas Harmônicas

Um único pulso (figura (b)) pode ser construído superpondo-se um grande número de ondas harmônicas de comprimentos de onda e freqüências diferentes.

Se a velocidade de propagação for independente da freqüência, dizemos que o meio pelo qual se propagam as ondas é não dispersivo. Então, todas as ondas que compõem o pulso se deslocam com a mesma velocidade e a velocidade do pulso (velocidade de grupo) é a mesma que a velocidade de cada onda componente (velocidade de fase). Num meio dispersivo, cada onda que compõe o pulso se desloca com uma velocidade diferente e a velocidade do pulso não é igual à velocidade de fase, podendo ser maior ou menor que ela.

Uma onda harmônica que se estenda de - Ondas Mecânicas Harmônicas a + Ondas Mecânicas Harmônicas (trem de ondas) é caracterizada por um só comprimento de onda e uma só freqüência. Uma onda como essa não é adequada para transmitir informação porque informação implica alguma coisa que comece e termine. Uma onda apropriada para isso é um pulso e a informação pode ser codificada por uma seqüência de pulsos. Num meio não dispersivo, a informação viaja à velocidade de fase, que é idêntica à velocidade de grupo. Num meio dispersivo, a informação viaja à velocidade de grupo.

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