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Ondas Mecânicas Harmônicas

 

Consideremos um certo sistema físico e uma propriedade deste sistema, como, por exemplo, uma corda e o deslocamento transversal de cada um de seus pontos ou uma certa quantidade de ar e sua pressão, etc.

Uma mudança na propriedade em questão em uma certa parte do sistema pode se propagar para outras partes na forma de uma onda mecânica progressiva (ou viajante). As ondas mecânicas progressivas num meio elástico estão relacionadas à transmissão de energia e não de matéria de um ponto a outro desse meio. Em oposição às ondas progressivas, existem as ondas estacionárias, que não transportam energia.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Onda Humana

Um fenômeno interessante de observar nos estádios de futebol é o seguinte: os espectadores de uma coluna se colocam de pé e sentam, sem sair do lugar, quando percebem que os espectadores da coluna adjacente o fez.

O efeito coletivo é um pulso que se propaga pelos espectadores do estádio. Quando o pulso se propaga para a direita, por exemplo, os espectadores de uma coluna fazem o movimento um pouco depois que os espectadores da coluna adjacente à esquerda e dizemos que existe uma diferença de fase entre os movimentos das colunas.

Os espectadores de cada coluna apenas se põem de pé e sentam, não se deslocando lateralmente. Eles não vão junto com o pulso e são, por assim dizer, o meio através do qual o pulso se propaga. Se os espectadores se colocam de pé e sentam continuamente, um trem de ondas se propaga pelos espectadores do estádio.

Ondas do Mar

Ondas Mecânicas Harmônicas

Para discutir um pouco mais o fato de que a onda não transporta matéria consideremos uma onda do mar. Podemos ver que a água não vai junto com a onda observando uma bola flutuando sobre a água. A bola descreve uma circunferência (ou uma elipse) para cada intervalo de tempo que leva a onda para se propagar uma distância equivalente à distância entre duas cristas. A bola não abandona a pequena região onde se encontra.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Longe da praia, cada partícula de água se move numa trajetória circular ou elíptica num plano vertical. O movimento de cada partícula pode ser considerado como a superposição de dois movimentos harmônicos simples de mesma freqüência, um na horizontal e outro na vertical. As oscilações das partículas não estão confinadas apenas à superfície, estendendo-se para o fundo com amplitude decrescente.

As forças restauradoras resultam principalmente das diferenças de pressão originadas pelas variações de profundidade de ponto a ponto. O papel das forças de tensão superficial é secundário mas, à medida que a escala do fenômeno diminui, fica cada vez mais importante. O sentido de propagação da onda depende do sentido em que as porções de água descrevem suas trajetórias circulares. A onda se propaga no mesmo sentido que a água na crista da onda.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Quanto maior o comprimento de onda de uma onda na superfície da água, maior a velocidade com que se desloca. Pequenas ondulações se deslocam com pequenas velocidades enquanto que grandes ondas oceânicas se deslocam com grandes velocidades.

Ondas gigantes, produzidas por terremotos e/ou erupções vulcânicas, chamadas tsunamis, têm comprimentos de onda muito grandes e viajam a velocidades que podem chegar a centenas de quilômetros por hora. E como movimentam grandes quantidades de água muito profundamente no oceano, os tsunamis levam enormes quantidades de energia.

Ao se aproximar da praia, a forma da onda do mar se modifica. As porções de água deixam de se mover em trajetórias circulares porque sua velocidade nas proximidades do fundo do mar é cada vez menor devido ao atrito com o leito do mar.

Com isso, as porções no fundo vão se atrasando em relação às porções mais altas e quando o atraso é tal que as porções superiores não encontram mais sustentação nas inferiores, elas desabam e a onda se quebra.

A água não se move junto com a onda do mar, mas um surfista, com sua prancha, se move para frente junto com a onda porque desliza sobre a superfície inclinada da água como se fosse sobre a encosta de uma montanha.

E enquanto a onda não se quebra, a superfície da água se levanta atrás dele, e ele, sem alcançar o ventre da onda, desliza para frente.

Ondas Mecânicas Unidimensionais

Ondas Mecânicas Harmônicas

Onda mecânica é um distúrbio que se propaga através de um meio elástico. Não existe transporte de matéria e sim, de energia, pela onda. Se cada ponto do meio elástico executa um movimento harmônico simples, a onda é dita harmônica.

Ondas Transversais

Se os pontos do meio pelo qual passa uma onda oscilam numa direção perpendicular à direção de propagação da onda, esta é chamada de onda transversal.

O movimento de um ponto qualquer tem sempre uma diferença de fase negativa em relação ao movimento do ponto adjacente a sua direita e é justamente isso que torna o movimento coletivo uma onda transversal que se propaga para a direita. Se a diferença de fase fosse positiva, a onda se propagaria na direção oposta.

A onda gerada numa corda horizontal pelo movimento para cima e para baixo da mão que segura uma de suas extremidades é um exemplo de onda transversal. Outro exemplo de onda transversal, só que não mecânica, é a onda eletromagnética, na qual os campos elétrico e magnético oscilam perpendicularmente um ao outro e à direção de propagação da onda.

Polarização de uma Onda Transversal

A direção do movimento das partículas do meio quando por ele passa uma onda transversal é perpendicular à direção de propagação da onda. Mas existem infinitas direções que são perpendiculares à direção de propagação da onda. Caso as partículas do meio se movimentem sempre na mesma direção, ou seja, caso a onda permaneça sempre no mesmo plano, dizemos que ela é linearmente polarizada.

Qualquer onda transversal pode ser considerada como combinação de duas ondas linearmente polarizadas em direções perpendiculares. Se os deslocamentos das partículas do meio têm todos o mesmo módulo, mas direções diferentes, de modo que a onda tenha forma helicoidal, dizemos que a onda é polarizada circularmente.

Nesse caso, cada partícula do meio descreve uma circunferência em torno da reta que passa pelos pontos de equilíbrio das partículas do meio.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Ondas Longitudinais

Ondas Mecânicas Harmônicas

Se os pontos do meio pelo qual passa uma onda oscilam numa direção paralela à direção de propagação da onda, esta é chamada de onda longitudinal. O movimento de qualquer ponto tem sempre uma diferença de fase negativa em relação ao movimento do ponto adjacente a sua direita e é justamente isso que torna o movimento coletivo uma onda longitudinal que se propaga para a direita.

A onda gerada numa mola, golpeando ritmicamente uma de suas extremidades na direção do seu eixo, é uma onda longitudinal. Uma onda sonora no ar, gerada pelo movimento de vai e vem da membrana de um alto-falante, e uma onda sonora em um sólido qualquer, gerada golpeando-se ritmicamente qualquer região do mesmo, são outros exemplos de ondas mecânicas longitudinais.

As ondas do mar são, ao mesmo tempo, transversais e longitudinais. Cada partícula da água descreve um movimento circular ou elíptico que pode ser considerado como a superposição de dois movimentos harmônicos simples de mesma freqüência, um na horizontal e outro na vertical.

A onda pode, assim, ser considerada como a superposição de duas ondas, uma longitudinal e outra transversal, com uma diferença de fase de p/2 rad, com amplitudes diferentes.

Elementos de uma Onda

O período de oscilação (T) do movimento harmônico simples de um ponto qualquer do meio, ou seja, o intervalo de tempo que ele leva para realizar exatamente uma oscilação, é igual ao período da onda. A distância percorrida pela onda durante um dos seus períodos, ou seja, a distância entre duas cristas sucessivas, é o que se chama de comprimento de onda (l). Assim, a velocidade de propagação da onda pode ser escrita:

v = Ondas Mecânicas Harmônicas / T

A freqüência do movimento harmônico simples de cada ponto do meio pelo qual se propaga a onda é, também, a freqüência da onda (f), ou seja, o número de comprimentos de onda contidos dentro da distância percorrida pela onda na unidade de tempo. Assim:

f = Ondas Mecânicas Harmônicas / 2Ondas Mecânicas Harmônicas = 1 / T

e definindo o número de onda (k) pela expressão k = 2p/l, vem:

v = Ondas Mecânicas Harmônicasf = w / k

A velocidade de propagação de uma onda é constante em um dado meio e é determinada apenas pelas propriedades físicas e pelo estado desse meio. Portanto, ondas mecânicas com freqüências ou comprimentos de onda diferentes se propagam, no mesmo meio, com velocidades iguais. Como v = Ondas Mecânicas Harmônicasf, uma onda com uma dada freqüência só pode ter um único comprimento de onda.

Se a freqüência é grande, o comprimento de onda é pequeno e vice-versa. Isso possibilita caracterizar as ondas mecânicas em um meio tanto pela freqüência quanto pelo comprimento de onda. Por outro lado, a freqüência é característica da fonte emissora da onda. Assim, ao passar de um meio para outro, a freqüência de uma onda não muda.

Como f = v/Ondas Mecânicas Harmônicas e como a velocidade de propagação da onda muda quando essa passa de um meio para outro, já que é função das propriedades físicas e do estado do meio, muda também o comprimento de onda. Isso faz com que se possa caracterizar apenas pela freqüência uma onda que muda de meio.

Transferência de Energia pela Onda

A energia total de um oscilador harmônico não amortecido é constante, de modo que a energia potencial diminui enquanto que a energia cinética aumenta e vice-versa. Numa onda progressiva as coisas acontecem de modo diverso.

A propagação de uma onda progressiva está associada à transmissão de energia de um ponto oscilante do meio a outro e essa transmissão acontece porque os pontos que estão passando pela posição de equilíbrio têm tanto energia potencial quanto energia cinética máximas. Vamos discutir isso tomando como exemplo o caso de uma onda que se propaga em uma corda.

Ondas Mecânicas Harmônicas

A linha tracejada representa a posição dos pontos da corda em repouso e, também, as respectivas posições de equilíbrio. Os pontos mostrados indicam convencionalmente as posições relativas das partículas da corda quando passa a onda.

Os pontos A e E estão momentaneamente parados e em sua vizinhança a corda não está deformada, isto é, os pontos da corda na vizinhança guardam as mesmas posições relativas que tinham antes de aparecer a onda. Para esses pontos, a energia cinética e a energia potencial associada à deformação elástica da corda são, ambas, nulas.

Por outro lado, os pontos C e F, que estão passando pela posição de equilíbrio, têm velocidades máximas (indicadas pelas flechas) e em sua vizinhança a deformação (alongamento ou cisalhamento) é máxima.

Para esses pontos, a energia cinética e a energia potencial são, ambas, máximas. Mas, como os pontos C e F se movem, no instante seguinte são os pontos a sua direita que ocuparão posições sobre a linha tracejada, pontos esses que terão recebido energia para ter, agora, energias cinética e potencial máximas.

O processo se repete com esses novos pontos e assim por diante. Portanto, a transmissão de energia na onda progressiva acontece com a mesma velocidade com que se propaga a fase das oscilações dos pontos do meio.

Observação

Quando uma onda se propaga em uma corda, esta sofre uma deformação por cisalhamento, e, em conseqüência, uma mudança de forma. As ondas transversais só podem se propagar em um meio se a mudança de forma desse meio vem acompanhada do aparecimento de forças restauradoras. Esse tipo de propriedade é própria apenas dos corpos sólidos e da superfície dos líquidos, de modo que só aí podem aparecer ondas transversais (mecânicas).

Equação da Onda

Para estabelecer a equação da onda vamos tomar uma onda transversal que se propaga na direção do eixo X e no mesmo sentido desse eixo, com velocidade de módulo v. O padrão espacial da onda se desloca no espaço com o passar do tempo.

Na figura, representamos a onda no instante de tempo considerado como inicial e num instante posterior genérico. Como estamos estudando ondas harmônicas, em qualquer instante de tempo, o padrão espacial da onda é dado por uma função harmônica (seno ou cosseno). Assim, para t = 0:

y(x, 0) = A sen kx

onde A representa a amplitude da onda e k, o número de onda. No argumento da função seno aparece a variável x multiplicada pelo número de onda k pela própria definição do seno como função trigonométrica periódica (com período 2Ondas Mecânicas Harmônicas) e da onda como fenômeno periódico no espaço (com período Ondas Mecânicas Harmônicas, o comprimento de onda). Por isso devemos ter y (x + Ondas Mecânicas Harmônicas, 0) = y (x, 0) que, pela expressão acima, fica sen (kx + kl) = sen kx. Essa expressão é uma identidade trigonométrica porque kl = 2p.
Agora, tomando os pontos x' e x tal que x - x' = vt, ou seja, tal que x - x' representa a distância percorrida pela onda durante o intervalo de tempo t, temos:

y(x,t) = y(x',0)

ou:

y(x,t) = y(x - vt,0)

e usando a expressão acima para y(x,0) com v = Ondas Mecânicas Harmônicas/k vem:

y(x,t) = A sen (kx - wt)

Nesta equação está implícita a condição y(0,0) = 0, o que não é necessário para uma onda arbitrária. A equação geral da onda que se propaga sobre o eixo X no mesmo sentido que aquele considerado positivo para esse eixo é:

y(x,t) = A sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast + Ondas Mecânicas Harmônicas)

onde d é chamada fase inicial. Substituindo v por - v na demonstração acima obtemos a equação da onda que se propaga em sentido contrário àquele considerado positivo para o eixo X:

y(x,t) = A sen (kx + Ondas Mecânicas Harmônicast + Ondas Mecânicas Harmônicas)

Observação

Tomando Ondas Mecânicas Harmônicas = 0 e x = Ondas Mecânicas Harmônicas/k na primeira equação geral da onda obtemos y (Ondas Mecânicas Harmônicas/k,t) = A sen (Ondas Mecânicas Harmônicas - Ondas Mecânicas Harmônicast), e levando em conta que sen (Ondas Mecânicas Harmônicas - Ondas Mecânicas Harmônicas) = sen Ondas Mecânicas Harmônicas, temos que y(Ondas Mecânicas Harmônicas/k,t) = A sen Ondas Mecânicas Harmônicast. Esta é a equação de movimento de uma partícula em movimento harmônico simples com elongação nula em t = 0. Assim, a partícula do meio pelo qual passa a onda, na posição x = Ondas Mecânicas Harmônicas/k, é um oscilador harmônico.

O mesmo cálculo pode ser feito para outra posição qualquer, levando a conclusão de que a partícula correspondente tem, também ela, um movimento harmônico simples, mas com uma diferença de fase em relação ao movimento harmônico simples da primeira partícula. Isso era de se esperar já que estamos considerando ondas harmônicas.

Embora a discussão acima tenha sido baseada nas ondas transversais por questões didáticas, as fórmulas obtidas valem também para as ondas longitudinais.

Princípio de Superposição

Ondas Mecânicas Harmônicas

Duas ou mais ondas podem se cruzar na mesma região do espaço, movendo-se independentemente.

Então, o deslocamento de qualquer partícula do meio em um dado instante é a soma vetorial dos deslocamentos que seriam produzidos pelas ondas individualmente.

Esse constitui o princípio de superposição e vale para ondas em meios elásticos se as forças de restauração são proporcionais às deformações. Inversamente, qualquer movimento ondulatório pode ser analisado como combinação de movimentos ondulatórios simples (harmônicos, por exemplo).

Os efeitos físicos associados à superposição de duas ou mais ondas são chamados de interferência. Como exemplo, consideremos duas ondas de mesma direção e sentido, com freqüências, amplitudes e velocidades iguais, uma atrasada em relação à outra:

y1(x,t) = A sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast - Ondas Mecânicas Harmônicas)

e

y2(x,t) = A sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast)

Em um instante de tempo qualquer (t fixo), y1 e y2 representam duas ondas separadas por uma distância Ondas Mecânicas Harmônicas/k sobre o eixo X (figura (a)). Numa dada posição (x fixo), y1 e y2 representam dois movimentos harmônicos simples defasados por um intervalo de tempo Ondas Mecânicas Harmônicas/w. A onda resultante da superposição de y1 e y2é dada por:

y1(x,t) + y2(x,t) = A [sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast - Ondas Mecânicas Harmônicas) + sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast)]

e pela fórmula trigonométrica:

sen A + sen B = 2 sen[ ½ (A + B)] cos [½ (A - B)]

temos:

y1(x,t) + y2 (x,t) = [2A cos Ondas Mecânicas Harmônicas/2] sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast - d/2)

A onda resultante tem a mesma freqüência angular w que y1 e y2. Mas a amplitude, agora, é dada pelo fator 2A cos Ondas Mecânicas Harmônicas/2. Para d = 0 temos y1 = y2, a amplitude da onda resultante vale 2A (figura (b)) e dizemos que existe interferência construtiva entre y1 e y2 (condição de máximo). Para Ondas Mecânicas Harmônicas = Ondas Mecânicas Harmônicas temos y1 = - y2, a amplitude da onda resultante vale zero (figura (c)) e dizemos que existe interferência destrutiva entre y1 e y2 (condição de mínimo).

De modo geral, pode haver interferência entre ondas com quaisquer freqüências e/ou amplitudes e com qualquer diferença de fase.

Velocidade de Fase e Velocidade de Grupo

A velocidade de propagação v = Ondas Mecânicas Harmônicas/k, de uma onda harmônica de comprimento de onda Ondas Mecânicas Harmônicas = 2Ondas Mecânicas Harmônicas/k e freqüência f = Ondas Mecânicas Harmônicas/2Ondas Mecânicas Harmônicas, é chamada velocidade de fase. Para discutir o que se entende por velocidade de grupo consideremos o exemplo da onda constituída pela superposição de duas ondas harmônicas de mesma amplitude A, mas de freqüências angulares Ondas Mecânicas Harmônicas' e Ondas Mecânicas Harmônicas quase iguais:

y (x,t) = A sen (k'x - Ondas Mecânicas Harmônicas' t) + A sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast)

que, pela fórmula trigonométrica:

sen A + sen B = 2 sen[ ½ (A + B)] cos [½ (A - B)]
fica:

y (x,t) = 2A cos ½ [(k' - k) x - (Ondas Mecânicas Harmônicas' - Ondas Mecânicas Harmônicas) t] sen ½ [(k' + k) x - (Ondas Mecânicas Harmônicas' + Ondas Mecânicas Harmônicas) t]

Como Ondas Mecânicas Harmônicas' e Ondas Mecânicas Harmônicas são quase iguais, podemos tomar Ondas Mecânicas Harmônicas' + Ondas Mecânicas Harmônicas = 2Ondas Mecânicas Harmônicas e k' + k = 2k e daí:

y (x,t) = 2A cos ½ [(k' - k) x - (Ondas Mecânicas Harmônicas' - Ondas Mecânicas Harmônicas) t] sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast]

Esta expressão representa um movimento ondulatório dado por sen (kx - wt) (figura (a), linha contínua, vermelha) com amplitude modulada 2A cos ½ [(k' - k) x - (w' - w) t] (figura (a), linha tracejada, azul).

O movimento ondulatório descrito por y(x,t) é como uma seqüência de pulsos.

A amplitude modulada corresponde a um movimento ondulatório que se propaga com a assim chamada velocidade de grupo:

vG = (Ondas Mecânicas Harmônicas' - Ondas Mecânicas Harmônicas) / (k' - k)

Ondas Mecânicas Harmônicas

Um único pulso (figura (b)) pode ser construído superpondo-se um grande número de ondas harmônicas de comprimentos de onda e freqüências diferentes.

Se a velocidade de propagação for independente da freqüência, dizemos que o meio pelo qual se propagam as ondas é não dispersivo. Então, todas as ondas que compõem o pulso se deslocam com a mesma velocidade e a velocidade do pulso (velocidade de grupo) é a mesma que a velocidade de cada onda componente (velocidade de fase).

Num meio dispersivo, cada onda que compõe o pulso se desloca com uma velocidade diferente e a velocidade do pulso não é igual à velocidade de fase, podendo ser maior ou menor que ela.

Uma onda harmônica que se estenda de - Ondas Mecânicas Harmônicas a + Ondas Mecânicas Harmônicas (trem de ondas) é caracterizada por um só comprimento de onda e uma só freqüência. Uma onda como essa não é adequada para transmitir informação porque informação implica alguma coisa que comece e termine.

Uma onda apropriada para isso é um pulso e a informação pode ser codificada por uma seqüência de pulsos. Num meio não dispersivo, a informação viaja à velocidade de fase, que é idêntica à velocidade de grupo. Num meio dispersivo, a informação viaja à velocidade de grupo.

Ondas Estacionárias

Consideremos uma corda ao longo do eixo X, com uma das extremidades fixa em x = 0, ao longo da qual se propaga uma onda transversal no sentido contrário àquele tomado como positivo para o eixo. Ao alcançar o ponto 0, a onda é refletida, propagando-se no sentido contrário. As ondas incidente e refletida são descritas por:

yI(x,t) = A sen (kx + Ondas Mecânicas Harmônicast)

e

yR(x,t) = A' sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast)

Ondas Mecânicas Harmônicas

O movimento de qualquer partícula da corda é o resultado da superposição das duas ondas e é descrito por:

y (x,t) = A sen (kx + Ondas Mecânicas Harmônicast) + A' sen (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast)

Como a partícula da corda em x = 0 permanece em repouso, y (0,t) = 0 para qualquer t. Usando a propriedade trigonométrica sen (- a) = - sen a temos que 0 = (A - A') sen wt e daí, A = A', ou seja, além de uma diferença de fase de p rad uma em relação à outra, as ondas incidente e refletida têm a mesma amplitude. E como:

sen A + sen B = 2 sen[ ½ (A + B)] cos [½ (A - B)]

temos:

y (x,t) = 2A sen kx cos Ondas Mecânicas Harmônicast

Como as fases (kx + Ondas Mecânicas Harmônicast) e (kx - Ondas Mecânicas Harmônicast) não aparecem em y(x,t), a expressão acima não descreve uma onda viajante mas o que se chama de onda estacionária. Observe que todas as partículas da corda descrevem movimentos harmônicos simples de mesma freqüência [y ~ cos Ondas Mecânicas Harmônicast] e que a amplitude de cada movimento [2A sen kx] depende da posição da partícula em questão.

A amplitude da onda estacionária é nula para kx = np onde n = 0, 1, 2, ... Como k = 2Ondas Mecânicas Harmônicas/Ondas Mecânicas Harmônicas, podemos escrever:

x = n (Ondas Mecânicas Harmônicas / 2)

Os pontos dados por essa expressão são chamados nós. Dois nós consecutivos estão separados por uma distância Ondas Mecânicas Harmônicas/2. O comprimento de onda Ondas Mecânicas Harmônicas é determinado pela freqüência e pela velocidade de propagação, pela fórmula Ondas Mecânicas Harmônicas = v/f.

Se em x = L a corda tem a outra extremidade fixa, y (L,t) = 0 para qualquer t. Então, 0 = 2A sen kL cos Ondas Mecânicas Harmônicast, ou seja, sen kL = 0, kL = n'Ondas Mecânicas Harmônicas onde n' = 1, 2, 3, ... e:

Ondas Mecânicas Harmônicas = 2L / n'

Essa expressão dá os comprimentos de onda das ondas estacionárias possíveis na corda. As freqüências possíveis são dadas por:

f = n' (v / 2L)

e as posições dos nós, por:

x = nL / n'

Ondas Mecânicas Harmônicas

com n = 0, 1, 2, ... n'. A animação mostra a forma variável de uma corda com uma onda estacionária para n' = 2, ou seja, Ondas Mecânicas Harmônicas = L, com três nós (n = 0, n = 1 e n = 2, sendo dois desses nas extremidades fixas). Podem existir ondas estacionárias com qualquer número de nós.

Observações

Em uma onda harmônica progressiva, todas as partículas do meio executam movimentos harmônicos simples com a mesma amplitude. Em uma onda estacionária, as amplitudes dependem das posições das partículas.

As ondas que se movem em sentidos contrários (ao longo da corda, por exemplo) produzem ondas estacionárias mesmo se têm amplitudes diferentes.

Não pode haver fluxo de energia através dos nós. Assim, não pode haver fluxo de energia ao longo da corda quando sobre ela existe uma onda estacionária. Cada partícula do meio executa o seu particular movimento harmônico simples sem perder ou ganhar energia das partículas vizinhas.

A discussão acima foi baseada nas ondas transversais em uma corda por motivos didáticos. Ondas estacionárias podem aparecer tanto associadas a ondas transversais quanto a ondas longitudinais.

A Cuba de Ondas

Um arranjo experimental interessante para observar os fenômenos mais comuns característicos das ondas, quais sejam, a reflexão, a refração, a interferência e a difração, é o que se chama de cuba de ondas. O arranjo consiste no seguinte.

Uma cuba rasa, transparente, com água a uma profundidade de 1 cm, com uma fonte de luz intensa iluminando o fundo da cuba, de baixo para cima, e um espelho, colocado sobre a cuba, de modo a refletir as sombras produzidas pelas perturbações na água numa tela fixa em uma parede vertical.

A cuba com água pode ser colocada, por exemplo, em um retro-projetor. Uma pequena esfera, mergulhada periodicamente na água, ou gotas pingadas com um conta-gotas, são fontes convenientes de ondas.

Em baixas freqüências, o comprimento de onda da onda produzida na água da cuba pode ter vários centímetros. Nessas condições, o módulo da velocidade de propagação da onda é dado pela expressão v = (gh)1/2, onde g representa o módulo da aceleração gravitacional e h, a profundidade da água na cuba.

Portanto, quanto mais rasa for a água, menor será a velocidade de propagação. Assim, uma régua, por exemplo, deitada sobre o fundo da cuba, junto a uma parede vertical, eliminará reflexões indesejadas nessa parede.

Frente de Onda e Raio

Consideremos as ondas bidimensionais produzidas na superfície da água de uma cuba de ondas por uma seqüência de gotas que caem no mesmo ponto. As circunferências (em perspectiva) representem as cristas das ondas, ou seja, os pontos do meio com elongação máxima relativamente à posição de equilíbrio.

Todos esses pontos oscilam em fase. Os pontos sobre qualquer circunferência com centro no ponto de origem das ondas oscilam em fase. Quando as ondas se propagam não pela superfície, mas pelo interior do meio, o conjunto de pontos que oscilam com a mesma fase constituem uma superfície.

Se o meio é isotrópico, de modo que o módulo da velocidade de propagação da onda é o mesmo qualquer que seja a direção de propagação, a superfície tem a forma esférica e a onda é chamada de onda esférica.

O lugar geométrico contínuo dos pontos do meio que oscilam em fase é chamado superfície ondulatória. A superfície ondulatória que vai mais adiante, ou seja, que está mais afastada da fonte das ondas, é chamada frente de onda.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Toda linha ao longo da qual se propaga a frente de onda se chama raio. Em um meio isotrópico, todo raio é uma linha reta perpendicular às superfícies ondulatórias. Toda reta que sai do ponto de origem das ondas e passa por qualquer ponto da frente de onda é um raio.

Reflexão e Refração

A velocidade de propagação de uma onda depende das propriedades físicas do meio através do qual ela se propaga. Esse fato é a base dos fenômenos de reflexão e refração, que acontecem quando a onda alcança a superfície de separação de dois meios.

A onda refletida é a onda que volta pelo mesmo meio onde se propagou a onda incidente. A onda refratada é a onda que se propaga pelo outro meio. A energia da onda incidente fica em parte na onda refletida e em parte na onda refratada. No caso da reflexão especular, a maior parte da energia fica na onda refletida.

Reflexão

Ondas Mecânicas Harmônicas

O fenômeno de reflexão de ondas pode ser observado em uma cuba de ondas colocando-se uma régua com parte acima da superfície da água e deixando-se cair uma seqüência de gotas para produzir ondas sobre essa superfície.

Seja O, o ponto onde as gotas atingem a superfície da água, originando as ondas, e O', o ponto simétrico a O em relação à superfície da régua onde as ondas se refletem. As ondas refletidas têm forma como se fossem emitidas de O'.

Seja A um ponto qualquer sobre a superfície da régua e AD, um segmento perpendicular à superfície da régua em A. A linha OA é o raio incidente no ponto A e a linha AC, o correspondente raio refletido.

Seja i o ângulo de incidência, r, o ângulo de reflexão, i*, o ângulo entre a régua e AO' e r*, o ângulo entre a régua e AO. Como i + r* = 90º e como r* = i*, já que os pontos O e O' são simétricos, temos:

i + i* = 90º

e como r + i + r* + i* = 180o, com i + r* = 90º temos também:

r + i* = 90º

Comparando as duas expressões segue-se que i = r, ou seja, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.

Refração

O fenômeno da refração de ondas, isto é, a mudança na velocidade de propagação das ondas quando da passagem de um meio para outro, pode ser observado em uma cuba de ondas colocando-se algum objeto como um pedaço de vidro plano sobre parte do fundo da cuba, reduzindo sobre ele a profundidade da água (região 2), e deixando-se cair uma seqüência de gotas em algum ponto da outra região (região 1), de modo a produzir ondas sobre a superfície da água (figura(a)).

Assim, quando as ondas vindas da região 1 entram na região 2, onde a água tem menor profundidade, a velocidade de propagação fica menor.

Seja O o ponto da região 1 onde as gotas atingem a superfície da água, originando as ondas, OAA', um raio perpendicular à linha de separação entre as duas regiões consideradas e OBB', um raio genérico.

A refração não vem acompanhada, necessariamente, de mudança de direção, como se pode ver pelo raio OAA' considerado. Só existe mudança de direção se o raio incidente não é perpendicular à superfície de separação entre os dois meios considerados.

Ondas Mecânicas Harmônicas

Durante o mesmo intervalo de tempo Ondas Mecânicas Harmônicast, as ondas se deslocam uma distância como a de E para F na região 1 e de B para C na região 2, e pode-se pensar que um ponto onde a onda passa de uma região para outra se desloca uma distância como a de B para F. Seja DD' a reta perpendicular à linha de separação entre as regiões 1 e 2 no ponto B (figura (b)). Seja i o ângulo de incidência e r, o ângulo de refração. Tomando Ondas Mecânicas Harmônicast pequeno, podemos considerar BEF e BCF como triângulos retângulos, com hipotenusa comum BF. O ângulo em B no triângulo BEF é igual a i e o ângulo em F no triângulo BCF é igual a r. Então:

sen i = Ondas Mecânicas Harmônicas1 / BF

e

sen r = Ondas Mecânicas Harmônicas2 / BF

onde Ondas Mecânicas Harmônicas1 e Ondas Mecânicas Harmônicas2 são os comprimentos de onda nas regiões 1 e 2, respectivamente. Agora, a freqüência das ondas não muda de uma região para outra, já que é característica da fonte, de modo que a relação f = v/l permite escrever:

v1 / Ondas Mecânicas Harmônicas1 = v2 /Ondas Mecânicas Harmônicas2

Isolando BF nas duas expressões acima e usando esta última, vem:

sen i / sen r = Ondas Mecânicas Harmônicas1 / Ondas Mecânicas Harmônicas2 = v1 / v2 = constante

O cociente v1/v2, simbolizado por n21, é chamado índice de refração da região 2 em relação à região 1. Assim:

n21 = sen i / sen r

Princípio de Huygens

Ondas Mecânicas Harmônicas

O princípio de Huygens é uma construção puramente geométrica que permite determinar a posição futura de uma frente de onda a partir de sua posição em um instante dado.

Todos os pontos de uma frente de onda são considerados como fontes de ondas esféricas secundárias. A nova frente de onda, em um instante de tempo posterior, é a envolvente dessas ondas secundárias como se apresentam nesse instante.

A título de exemplo, a figura representa a refração de uma onda plana que passa do meio 1 para o meio 2, mostrando nove frentes de onda geradas segundo o princípio de Huygens e um raio, evidenciando a mudança de direção quando a incidência não é perpendicular à superfície de separação entre os meios.

Em cada frente de onda foram representados apenas quatro pontos que atuam como fontes de ondas secundárias, de cada uma das quais apenas uma pequena parte aparece.

A velocidade de propagação da onda fica menor quando ela entra no meio 2, de modo que o comprimento de onda nesse meio é menor que o comprimento de onda no meio 1.

O princípio de Huygens pode ter sentido como modelo físico para a propagação de uma onda elástica que resulta da vibração de átomos ou moléculas em um meio qualquer.

Contudo, esse princípio não tem sentido como modelo físico em casos como o de uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo, por exemplo, onde não existem partículas que possam vibrar.

Difração

Ondas Mecânicas Harmônicas

Difração é o fenômeno pelo qual uma onda é distorcida por um obstáculo. Este obstáculo pode ser um pequeno objeto que bloqueia a passagem de uma parte da frente de onda ou uma fenda que permite a passagem de apenas uma parte da frente de ondas.

A difração pode ser observada em uma cuba de ondas, por exemplo, obstruindo-se a passagem das ondas com duas lâminas metálicas separadas por uma abertura entre elas, e provocando ondas planas numa das regiões assim definidas. Quando a abertura tem dimensão muito maior que o comprimento de onda das ondas que se propagam na água da cuba, as ondas quase não se propagam atrás dos obstáculos (figura (a)).

Quando a abertura tem dimensão pequena, as ondas rodeiam as bordas dos obstáculos (figura (b)) e quando a abertura tem dimensão comparável ao comprimento de onda, as ondas rodeiam as bordas dos obstáculos de tal modo que, atrás deles, a superfície da água fica quase completamente perturbada pelas ondas (figura (c)).

Nesse caso, a abertura parece ser uma fonte independente de ondas que se propagam atrás dos obstáculos, em todas as direções.

As dimensões do objeto ou da abertura para as quais se observa a difração dependem do comprimento de onda: quanto menores tais dimensões frente ao comprimento de onda, tanto mais notável é a difração.

Quando as dimensões do obstáculo ou da abertura são comensuráveis com o comprimento de onda, a difração se manifesta nas proximidades de tal obstáculo ou abertura (figura (c)).

A difração pode ser compreendida pelo princípio de Huygens. Consideremos a frente de onda que chega a uma abertura, por exemplo.

Todos os pontos dessa frente de onda se comportam como fontes de ondas secundárias.

As ondas secundárias originadas nos pontos que se encontram frente aos anteparos que formam a abertura são bloqueadas por esses mesmos anteparos e a forma da frente de onda na região além da abertura fica determinada pelas ondas secundárias não bloqueadas.

Efeito Doppler

Ondas Mecânicas Harmônicas

Caso alguns pulsos sejam emitidos com uma dada freqüência, as correspondentes frentes de onda são superfícies esféricas (figura esquerda).

Para um observador em O ou em O', por exemplo, em repouso em relação à fonte, as frentes de onda são concêntricas e igualmente espaçadas, isto é, chegam até ele com a mesma freqüência com que os pulsos são emitidos.

Caso os pulsos sejam emitidos enquanto existe movimento relativo entre a fonte e o observador, as correspondentes frentes de onda deixam de ser concêntricas para o observador (figura direita).

As frentes de onda chegam ao observador em A com uma freqüência menor e ao observador em A', com uma freqüência maior do que aquela com que os pulsos foram emitidos.

Essa mudança na freqüência devido ao movimento relativo entre a fonte e o observador é chamada efeito Doppler.

O efeito Doppler aparece, por exemplo, quando o som da sirene de uma ambulância parece mais agudo ao se aproximar e mais grave ao se afastar de nós, comparado àquele que escutamos com ela parada. Esse efeito aparece também quando se observa a luz de uma estrela.

Se a estrela está se aproximando da Terra, seus raios luminosos são vistos com freqüências maiores (desvio para o azul) e se a estrela está se afastando da Terra, seus raios luminosos são vistos com freqüências menores (desvio para o vermelho).

O aumento das freqüências dos raios luminosos se chama deslocamento para o azul porque se dá na direção das freqüências mais altas, correspondendo, no espectro, à cor azul, e a diminuição das freqüências dos raios luminosos se chama deslocamento para o vermelho porque se dá na direção das freqüências mais baixas, correspondendo, no espectro, à cor vermelha.

A Barreira do Som

Quando um objeto se move na atmosfera ele gera ondas de pressão esféricas, ondas essas que se propagam com a velocidade das ondas sonoras.

Em particular, as cristas das ondas geradas pelo objeto ficam tão mais próximas umas das outras à frente do objeto e tão mais afastadas atrás dele quanto maior for a velocidade do objeto em relação à atmosfera.

Se a velocidade do objeto estiver próxima da velocidade das ondas sonoras, as cristas à frente se sobrepõem, formando uma crista única, de amplitude bem maior do que a amplitude de qualquer das ondas originais.

Assim, à frente do objeto, a pressão atmosférica fica bem maior do que o seu valor normal. Quando o objeto se move à velocidade das ondas sonoras, a crista única passa a ter uma amplitude muito grande e recebe o nome de onda de choque.

No caso de um avião, cada ponto de sua superfície externa se comporta como uma fonte de ondas de pressão e quando a velocidade do avião se aproxima da velocidade das ondas sonoras, começam a se formar ondas de choque sobre as asas e perto do nariz. Isso representa um grande obstáculo ao vôo já que aparecem problemas estruturais e de pilotagem, além de uma grande resistência ao avanço do avião devido a grande pressão do ar a sua frente.

Todas essas dificuldades constituem o que se costuma chamar de barreira do som.

Ao nível do mar e a 15 ºC, a velocidade das ondas sonoras na atmosfera é de cerca de 344 m/s. A razão entre a velocidade de um objeto e a velocidade das ondas sonoras é o número de Mach (M).

Velocidades para as quais M < 1 são chamadas subsônicas e velocidades para as quais M > 1 são chamadas supersônicas. As dificuldades ao vôo apontadas acima ficam bastante reduzidas para velocidades tais que M > 1,2 porque, nessas velocidades, as ondas de choque aparecem destacadas do avião, um pouco a sua frente.

Fonte: www.ufsm.br

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